函数的定义及性质专题复习

1高中数学必修1知识点总结【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)xaa{|}xaxa||(0)xaa|xxa或}xa||,||(0)axbcaxbcc把axb看成一个整体，化成||xa，||(0)xaa型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxca的图象O一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（其中12)xx122bxxa无实根20(0)axbxca的解集1{|xxx或2}xx{|x}2bxaR20(0)axbxca的解集12{|}xxxx〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么:fAB叫做集合A到B的一个函数，记作．Axxfy),(②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,ab是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做[,]ab；满足axb的2实数x的集合叫做开区间，记做(,)ab；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)ab，(,]ab；满足,,,xaxaxbxb的实数x的集合分别记做[,),(,),(,],(,)aabb．注意：对于集合{|}xaxb与区间(,)ab，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()fx是整式时，定义域是全体实数．②()fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tanyx中，()2xkkZ．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()fx的定义域为[,]ab，其复合函数[()]fgx的定义域应由不等式()agxb解出．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法3yxo性质函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．x1x2y=f(X)xyf(x)1f(x)2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．x．．2．时，都有f(x．．．1．)f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxoxx2f(x)f(x)211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]yfgx，令()ugx，若()yfu为增，()ugx为增，则[()]yfgx为增；若()yfu为减，()ugx为减，则[()]yfgx为增；若()yfu为增，()ugx为减，则[()]yfgx为减；若()yfu为减，()ugx为增，则[()]yfgx为减．（2）打“√”函数()(0)afxxax的图象与性质()fx分别在(,]a、[,)a上为增函数，分别在[,0)a、(0,]a上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，我们称M是函数()fx的最大值，记作max()fxM．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法4函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．－．f．(x)．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数()fx为奇函数，且在0x处有定义，则(0)0f．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()hhhhyfxyfxh左移个单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyfxyfxk上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()yfxyfx伸缩01,1,()()AAyfxyAfx缩伸③对称变换()()xyfxyfx轴()()yyfxyfx轴()()yfxyfx原点1()()yxyfxyfx直线()(||)yyyyfxyfx去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|xxyfxyfx保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去5函数的定义及性质专题复习一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴221533xxyx⑵41xxy⑶()131fxxx．（4）25yxx；（5）4||5xyx.2、设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为___；函数fx()2的定义域为________；3、若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是；函数1(2)fx的定义域为。二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223yxx()xR⑵223yxx[1,2]x三、求函数的解析式1、已知函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式。2、已知函数()fx满足2()()34fxfxx，则()fx=。3、设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时，)1()(xxxf，则当(,0)x时()fx=_____()fx在R上的解析式为四、求函数的单调区间7.已知函数2()2fxxx，2()2([2,4])gxxxx.（1）求()fx，()gx的单调区间；（2）求()fx，()gx的最小值.五、判断函数的奇偶性（1）42()23fxxx；（2）3()2fxxx（3）21()xfxx；（4）2()1fxx.六、综合题一、选择题：1、若()1fxx，则(3)f（）A、2B、4C、22D、102、函数21yx的定义域是（）61111.(,).[,).(,).(,]2222ABCD3、下列各组函数是同一函数的是（）（1）()fxx与2()gxx(2)0()fxx与01()gxx（3）2()21fxxx与2()21gtttA、②B、①③C、③D、①4、函数1()(0)fxxxx是（）A、奇函数，且在(0，1)上是增函数B、奇函数，且在(0，1)上是减函数C、偶函数，且在(0，1)上是增函数D、偶函数，且在(0，1)上是减函数5、下列函数是奇函数的是（）A．xyB．322xyC．21xyD．]1,0[,2xxy4、二次函数245yxmx的对称轴为2x，则当1x时，y的值为（）A、7B、1C、17D、256、下列四个图像中，是函数图像的是（）A、（1）B、（1）、（3）、（4）C、（1）、（2）、（3）D、（3）、（4）7、已知f（x）=g（x）+2，且g(x)为奇函数，若f（2）=3，则f（-2）=。A0B．-3C．1D．38、)(xf是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是()A、()()0fxfxB、()()2()fxfxfxC、0)()(xfxfD、()1()fxfx9、如果函数2()2(1)2fxxax在区间,4上是减少的，那么实数a的取值范围是（）A、3aB、3aC、5aD、5a10、设函数()(21)fxaxb是R上的减函数，则有（）A、12aB、12aC、21aD、21a11、定义在R上的函数()fx对任意两个不相等实数,ab，总有()()0fafbab成立，则必有（）A、函数()fx是先增加后减少B、函数()fx是先减少后增加C、()fx在R上是增函数D、()fx在R上是减函数xOyxxxyyyOOO（1）（2）（3）（4）712、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。A、（1）（2）（4）B、（4）（2）（3）C、（4）（1）（3）D、（4）（1）（2）13、已知f（x）=20x000xxx，则f[f(-3)]等于A、0B、πC、π2D、9[来源:学+科+网]14、已知函数xf是R上的增函数1,0A，1,3B是其图像上的两点，那么1fx的解集是（）A．3,0B．0,3C．,13,D．,01,15、已知函数542)(2kxxxf在区间]2,1[上不具有单调性，则k的取值范围是（）A、]2,1[B、)2,1(C、)2,(D、),1(源:学+科+网]二、填空题：1、已知25(1)()21(1)xxfxxx，