2017年----2018年高考真题解答题专项训练：立体几何(理科)学生版

试卷第1页，总6页2017年----2018年高考真题解答题专项训练：立体几何（理科）学生版1．（2017.上海卷）如图，直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱𝐴𝐴1的长为5.（1）求三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积；（2）设M是BC中点，求直线𝐴1𝑀与平面𝐴𝐵𝐶所成角的大小.2．（题文）（题文）（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.3．（2017.新课标3卷）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE∥平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值4．（2017.北京卷）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，6PAPD，4AB．试卷第2页，总6页（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．5．（2017.山东卷）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点.（I）设P是CE上的一点，且APBE，求CBP的大小;（II）当32ABAD，时,求二面角EAGC的大小.6．（2017.新课标2卷）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD，o1,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点。（1）证明：直线//CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD的余弦值。试卷第3页，总6页7．（2017.天津卷）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90BAC．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，4PAAC，2AB．（1）求证：MN平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．8．(2017·江苏高考)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.9．（题文）（2017新课标全国I理科）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐷𝑃=90∘.试卷第4页，总6页（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠𝐴𝑃𝐷=90∘，求二面角A−PB−C的余弦值.10．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．11．（2018.天津卷）如图，//ADBC且AD=2BC，ADCD,//EGAD且EG=AD，//CDFG且CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MNCDE平面；（II）求二面角EBCF的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.试卷第5页，总6页12．（2018.北京卷）如图，在三棱柱ABC−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为𝐴𝐴1，AC，𝐴1𝐶1，𝐵𝐵1的中点，AB=BC=√5，AC=𝐴𝐴1=2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交．13．（2018.江苏卷）在平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1=𝐴𝐵,𝐴𝐵1⊥𝐵1𝐶1。求证：（1）𝐴𝐵//平面𝐴1𝐵1𝐶；（2）平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1⊥平面𝐴1𝐵𝐶．14．（2018.新课标1卷）如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝐸,𝐹分别为𝐴𝐷,𝐵𝐶的中点，以𝐷𝐹为折痕把△𝐷𝐹𝐶折起，使点𝐶到达点𝑃的位置，且𝑃𝐹⊥𝐵𝐹.（1）证明：平面𝑃𝐸𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐹𝐷；（2）求𝐷𝑃与平面𝐴𝐵𝐹𝐷所成角的正弦值.15．（2018.新课标3卷）如图，边长为2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷所在的平面与半圆弧𝐶𝐷所在平面垂直，𝑀是𝐶𝐷上异于𝐶，𝐷的点．（1）证明：平面𝐴𝑀𝐷⊥平面𝐵𝑀𝐶；（2）当三棱锥𝑀−𝐴𝐵𝐶体积最大时，求面𝑀𝐴𝐵与面𝑀𝐶𝐷所成二面角的正弦值．试卷第6页，总6页16．（2018.新课标2卷）如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2√2，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=𝐴𝐶=4，𝑂为𝐴𝐶的中点．（1）证明：𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶；（2）若点𝑀在棱𝐵𝐶上，且𝑀𝐶=2𝑀𝐵，求点𝐶到平面𝑃𝑂𝑀的距离．答案第1页，总22页2017年----2018年高考真题解答题专项训练：立体几何（理科）学生版参考答案1．（1）20;（2）arctan√5【来源】2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）【解析】试题分析：（1）三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积𝑉=𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶×𝐴𝐴1×𝐴𝐶×𝐴𝐴1，由此能求出结果；（2）连结𝐴𝑀,∠𝐴1𝑀𝐴是直线𝐴1𝑀与平面𝐴𝐵𝐶所成角，由此能求出直线𝐴1𝑀与平面𝐴𝐵𝐶所成角的大小.试题分析：（1）𝑉=𝑆⋅ℎ=20（2）tan𝜃=5√5=√5，线面角为arctan√52．（1）见解析；（2）√77.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为√77.试题解析：（1）由题设可得，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷，从而𝐴𝐷=𝐷𝐶.又△𝐴𝐶𝐷是直角三角形，所以∠𝐴𝐷𝐶=90°.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△𝐴𝐵𝐶是正三角形，故𝐵𝑂⊥𝐴𝐶.所以∠𝐷𝑂𝐵为二面角𝐷−𝐴𝐶−𝐵的平面角.在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵中，𝐵𝑂2+𝐴𝑂2=𝐴𝐵2.又𝐴𝐵=𝐵𝐷，所以𝐵𝑂2+𝐷𝑂2=𝐵𝑂2+𝐴𝑂2=𝐴𝐵2=𝐵𝐷2，故∠𝐷𝑂𝐵=90∘.所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由题设及（1）知，𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐷两两垂直，以𝑂为坐标原点，𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑的方向为𝑥轴正方向，|𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧.则𝐴(1,0,0),𝐵(0,√3,0),𝐶(−1,0,0),𝐷(0,0,1).答案第2页，总22页由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得𝐸(0,√32,12).故𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=(−1,0,1),𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,0,0),𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑=(−1,√32,12).设𝑛=(𝑥,𝑦,𝑧)是平面DAE的法向量，则{𝑛⋅𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=0，𝑛⋅𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑=0，即{−𝑥+𝑧=0,−𝑥+√32𝑦+12𝑧=0.可取𝑛=(1,√33,1).设𝑚是平面AEC的法向量，则{𝑚⋅𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=0，𝑚⋅𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑=0，同理可取𝑚=(0,−1,√3).则cos⟨𝑛,𝑚⟩=𝑛⋅𝑚|𝑛||𝑚|=√77.所以二面角D-AE-C的余弦值为√77.【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与⟨𝑚,𝑛⟩互补或相等，故有|cos𝜃|=|cos⟨𝑚,𝑛⟩|=𝑚⋅𝑛|𝑚||𝑛|.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.3．（I）见解析；（II）28.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版）【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。（Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可证明；（Ⅱ）由题意，取BC，AD的中点M，N，答案第3页，总22页可得AD⊥平面PBN，即BC⊥平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．依此可在Rt△MQH中，求∠QMH的正弦值．试题解析：（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连接EF，FB．因为E，F分别为PD，PA中点，所以//EFAD且12EFAD，又因为//BCAD，12BCAD，所以//EFBC且EFBC，即四边形BCEF为平行四边形，所以//CEBF，因此//CE平面PAB．（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连接PN交EF于点Q，连接MQ．因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ//CE．由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD．由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD．所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN．过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH．MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD=1．在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=2得CE=2，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=3得QH=14，答案第4页，总22页在Rt△MQH中，QH=14，MQ=2，所以sin∠QMH=28，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28．【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的．另外，本题也可利用空间向量求解线面角．4．（1）证明见解析；（2）3；（3）269．【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：（1）设AC，BD的交点为E，由线面平行性质定理得PDME，再根据三角形中位线性质得M为PB的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小试题解析：（1）设AC，BD的交点为E，连接ME．因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME．因为ABCD是