2014届高考一轮复习数学4.7正弦定理、余弦定理及其实际应用

目录退出第7讲正弦定理、余弦定理及其实际应用目录退出考纲展示考纲解读1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.高考对正弦定理及余弦定理这部分内容的考查主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证明、解析几何中有关的角及实际应用等问题,多以正弦定理、余弦定理为框架,以三角形为主要依托,来综合考查三角知识,题型一般是选择题和填空题,也有可能是中档难度的解答题.目录退出目录退出1.正弦定理:a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(3)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R等形式,以解决不同的三角形问题.目录退出2.余弦定理(1)余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.(2)余弦定理的变形cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.目录退出勾股定理是余弦定理的特殊情况,余弦定理是勾股定理的推广.在余弦定理表达式中分别令A,B,C为90°,则上述关系式分别化为a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.目录退出3.在△ABC中,已知a,b和A时解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAaba≥bab解个数一解两解一解一解目录退出4.△ABC的面积公式(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高);(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA;(3)S=12r(a+b+c)(r为△ABC内切圆半径);(4)S=p(p-a)(p-b)(p-c)其中p=12(a+b+c).目录退出5.解斜三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解,常见类型及其解法如下表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°,求角A;由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a,b,C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出小边所对的角;再由A+B+C=180°求出另一角.在有解时只有一解三边(a,b,c)余弦定理由余弦定理求出角A,B;再利用A+B+C=180°,求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a,b,A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B;由A+B+C=180°,求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解,一解或无解目录退出6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.7.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(3)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.目录退出三角形中的常见结论:(1)A+B+C=π;(2)sinA+B2=cosC2;(3)cosA+B2=sinC2;(4)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(5)sin(A+B)=sinC;(6)cos(A+B)=-cosC;(7)sinAsinB⇔AB⇔ab;(8)锐角三角形ABC中,sinAcosB⇔A+B𝜋2.目录退出1.已知△ABC中,a=2,b=3,B=60°,那么角A等于()A.135°B.90°C.45°D.30°【答案】C【解析】由正弦定理,得sinA=a𝑠𝑖𝑛Bb=23sin60°=22.∵ab,∴AB.∴A=45°.2.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为()A.2𝜋3B.5𝜋6C.3𝜋4D.𝜋3【答案】A【解析】由余弦定理得cos∠BAC=AB2+AC2-BC22·AB·AC=52+32-722×5×3=-12,故∠BAC=2𝜋3.目录退出3.已知△ABC中,a=2,b=3,cosC=35,则此三角形的面积S等于()A.95B.125C.185D.245【答案】B【解析】由cosC=35,得sinC=45,则S=12absinC=125.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=λ,b=3λ(λ0),A=45°,则满足此条件的三角形有()A.0个B.1个C.2个D.无数个【答案】A【解析】直接根据正弦定理a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B,可得sinB=b𝑠𝑖𝑛Aa=3λ𝑠𝑖𝑛45°λ=621,故满足条件的三角形的个数为0.目录退出5.在△ABC中,已知3b=23asinB,且cosB=cosC,则△ABC的形状是.【答案】等边三角形或等腰三角形【解析】由cosB=cosC可知B=C,由3b=23asinB,得3sinB=23sinAsinB,即sinA=32.从而A=𝜋3或A=2𝜋3.当A=𝜋3时,B=C=𝜋3,△ABC为等边三角形;当A=2𝜋3时,B=C=𝜋6,△ABC为等腰三角形.目录退出目录退出T题型一正弦定理及其应用例1(1)△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,求b.(2)在△ABC中,a=3,b=2,B=45°,求角A,C和边c.(1)由内角和为180°,可求A,再利用正弦定理求b;(2)已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.目录退出【解】(1)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.由正弦定理得a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B,∴b=a𝑠𝑖𝑛B𝑠𝑖𝑛A=8×𝑠𝑖𝑛60°𝑠𝑖𝑛45°=46.(2)由正弦定理a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B,得3𝑠𝑖𝑛A=2𝑠𝑖𝑛45°,故sinA=32.∵ab,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c=b𝑠𝑖𝑛C𝑠𝑖𝑛B=6+22;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c=b𝑠𝑖𝑛C𝑠𝑖𝑛B=6-22.目录退出(1)已知两角及一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.目录退出1.(2012·广东卷,6)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=32,则AC=()A.43B.23C.3D.32【答案】B【解析】由正弦定理得BC𝑠𝑖𝑛A=AC𝑠𝑖𝑛B,即32𝑠𝑖𝑛60°=AC𝑠𝑖𝑛45°,解得AC=23.目录退出T题型二余弦定理及其应用例2在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且𝑐𝑜𝑠B𝑐𝑜𝑠C=-b2a+c.(1)求角B的大小;(2)若b=13,a+c=4,求△ABC的面积.由𝑐𝑜𝑠B𝑐𝑜𝑠C=-b2a+c,利用余弦定理转化为边的关系求解.目录退出【解】(1)由余弦定理知cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.将上面两个式子代入𝑐𝑜𝑠B𝑐𝑜𝑠C=-b2a+c得a2+c2-b22ac·2aba2+b2-c2=-b2a+c,整理得a2+c2-b2=-ac.故cosB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12.∵B为三角形的内角,∴B=2𝜋3.(2)将b=13,a+c=4,B=2𝜋3代入b2=(a+c)2-2ac-2accosB,得13=16-2ac1-12,解得ac=3.故S△ABC=12acsinB=334.目录退出已知三角形的三边或已知两边和它们的夹角,运用余弦定理求解,熟练掌握余弦定理及其变形形式是解题的关键,同时还要注意方程思想的运用.目录退出2.(2012·湖南卷,文8)在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.32B.332C.3+62D.3+394【答案】B目录退出【解析】在△ABC中,由余弦定理可知:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即7=AB2+4-2×2×AB×12.整理得AB2-2AB-3=0,解得AB=-1(舍去)或AB=3.故BC边上的高AD=AB·sinB=3×sin60°=332.目录退出T题型三正、余弦定理的综合应用例3在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0,(1)求角A的大小;(2)若a=3,求bc的最大值;(3)求a𝑠𝑖𝑛(30°-C)b-c的值.(1)由b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想余弦定理,求出cosA,进而求出A的值.(2)由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化为角,从而达到化简求值的目的.目录退出【解】(1)∵cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,∴A=120°.(2)由a=3,得b2+c2=3-bc,又∵b2+c2≥2bc(当且仅当c=b时取等号),∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号),即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.(3)由正弦定理,得a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R(R为△ABC外接圆半径),故a𝑠𝑖𝑛(30°-C)b-c=2R𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛(30°-C)2R𝑠𝑖𝑛B-2R𝑠𝑖𝑛C=𝑠𝑖𝑛A𝑠𝑖𝑛(30°-C)𝑠𝑖𝑛B-𝑠𝑖𝑛C=3212𝑐𝑜𝑠C-32𝑠𝑖𝑛C𝑠𝑖𝑛(60°-C)-𝑠𝑖𝑛C=34𝑐𝑜𝑠C-34𝑠𝑖𝑛C32𝑐𝑜𝑠C-32𝑠𝑖𝑛C=12.目录退出(1)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值,然后利用余弦函数在(0,π)上的单调性求解;(2)正、余弦定理能实现边角转化,在解题时一定要重视.目录退出3.(2012·课标全国卷,17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.【解】(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0.因为B=π-A-C,所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC≠0,所以sinA-𝜋6=12.又0Aπ,故A=𝜋3.(2)△ABC的面积S=12bcsinA=3,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8,解得b=c=2.目录退出T题型四实际应用问题例4如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,求该救援船到达D点需要多长时间?目录退出在△ABD中,可考虑正弦定理,在△BCD中,可考虑用余弦定理求CD.【解】由题意知AB=5(3+3)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,故∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.在△ABD中,由正弦定理,得DB𝑠𝑖𝑛∠DAB=AB𝑠𝑖𝑛∠ADB,∴DB=AB·𝑠𝑖𝑛∠DAB𝑠𝑖𝑛∠ADB=5(3+3)·𝑠𝑖𝑛45°𝑠𝑖𝑛105°=5(3+3)·𝑠𝑖𝑛45°𝑠𝑖𝑛45°𝑐𝑜𝑠60°+𝑐𝑜𝑠45°𝑠�