届高考数学一轮复习讲义第讲参数方程

一轮复习讲义参数方程1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数x＝ft，y＝gt.并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的，其中变量t称为．要点梳理忆一忆知识要点参数方程参数2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．(3)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为(θ为参数)．(4)抛物线方程y2＝2px(p0)的参数方程为(t为参数)．忆一忆知识要点x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθx＝acosθy＝bsinθx＝2pt2y＝2pt要点梳理[难点正本疑点清源]1．注意参数方程中参数的几何意义(1)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便．(2)利用直线参数方程的几何意义求弦长，直线的参数方程必须是标准形式，即x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)．2．参数方程与普通方程的互化参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程时，不要忘了x、y的范围．例1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)x＝1＋12t，y＝2＋32t(t为参数)；(2)x＝1＋t2，y＝2＋t(t为参数)；(3)x＝t＋1t，y＝1t－t(t为参数)；参数方程与普通方程的互化(4)x＝4sinθ，y＝5cosθ(θ为参数)．参数方程化普通方程，关键是消元．解(1)由x＝1＋12t得t＝2x－2.∴y＝2＋32(2x－2)．∴3x－y＋2－3＝0，此方程表示直线．(2)由y＝2＋t得t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2.即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．(3)由x＝t＋1t①y＝1t－t②∴①2－②2得x2－y2＝4，此方程表示双曲线．(4)x＝4sinθy＝5cosθ，得sinθ＝x4①cosθ＝y5②①2＋②2，得x216＋y225＝1，此方程表示椭圆．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式．参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．探究提高将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2(k为参数)；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ(θ为参数)；(3)x＝1－t21＋t2，y＝t1＋t2(t为参数)．变式训练1解(1)两式相除，得k＝y2x，将其代入，得x＝3·y2x1＋y2x2，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．(3)由1－t21＋t22＋2t1＋t22＝1，得x2＋4y2＝1，又x＝1－t21＋t2≠－1，得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．例2过点P102，0作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M、N，求PM·PN的最小值及相应的α的值．参数方程的应用设出过点P的直线的参数方程，利用参数t的几何意义求解．解设直线的参数方程为x＝102＋tcosαy＝tsinα(t是参数)，代入曲线方程并整理得(1＋sin2α)t2＋(10cosα)t＋32＝0，设M、N对应的参数分别为t1、t2，而由参数t的几何意义得PM＝|t1|，PN＝|t2|，则PM·PN＝|t1t2|＝321＋sin2α，所以，当sin2α＝1，即α＝π2时，PM·PN有最小值34，此时α＝π2.(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝PP0时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1＋t2)．(2)对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．探究提高已知直线l的参数方程为x＝4－2ty＝t－2(t为参数)，P是椭圆x24＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．变式训练2解将直线l的参数方程x＝4－2ty＝t－2(t为参数)转化为普通方程为x＋2y＝0，因为P为椭圆x24＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R.因此点P到直线l的距离d＝|2cosθ＋2sinθ|12＋22＝22sinθ＋π45，所以当θ＝kπ＋π4，k∈Z时，d取得最大值2105.例3(2011·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为4，π2，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．极坐标、参数方程综合应用将点P的极坐标化为直角坐标，再求解．解(1)把极坐标系下的点P(4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝|3cosα－sinα＋4|2＝2cosα＋π6＋42＝2cosα＋π6＋22，由此得，当cosα＋π6＝－1时，d取得最小值，且最小值为2.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．探究提高(2010·辽宁)已知P为半圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为π3.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．AP（变式训练3解(1)由已知，点M的极角为π3，且点M的极径等于π3，故点M的极坐标为(π3，π3)．(2)点M的直角坐标为(π6，3π6)，A(1,0)，故直线AM的参数方程为x＝1＋π6－1t，y＝3π6t(t为参数)．(10分)已知圆锥曲线x＝2cosθy＝3sinθ(θ是参数)和定点A(0，3)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．思想与方法转化思想在解题中的应用(1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l的参数方程．(2)直线AF2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．审题视角规范解答解(1)圆锥曲线x＝2cosθy＝3sinθ化为普通方程x24＋y23＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，则直线AF2的斜率k＝－3，于是经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的斜率k′＝33，直线l的倾斜角是30°，[3分]所以直线l的参数方程是x＝－1＋tcos30°y＝tsin30°(t为参数)，即x＝32t－1y＝12t(t为参数)．[5分](2)直线AF2的斜率k＝－3，倾斜角是120°，设P(ρ，θ)是直线AF2上任一点，则ρsin60°＝1sin120°－θ，ρsin(120°－θ)＝sin60°，则ρsinθ＋3ρcosθ＝3.[10分]批阅笔记(1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了考生的转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)学生易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．1．参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．2．普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．方法与技巧在曲线方程之间的互化时，要做到互化准确，不重不漏，保持转化前后的等价性．失误与防范