参数方程(圆锥曲线的参数方程)

圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程为参数）(sincosryrx为参数）(sincosrbyrax复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:12222byax3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？M如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,xOyANB设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:y＝NM＝x＝ON＝)(sincos为参数的参数方程为byaxM这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为[0,2)|OA|cosθ＝acosθ，|OB|sinθ＝bsinθφOAMxyNB椭圆的标准方程:1bya2222x椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数xxyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为参数rrxθ的几何意义是∠AOP=θPAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称为点M的离心角小结椭圆的标准方程：12222byaxsincosbyax椭圆的参数方程：——离心角一般地：2,012222aybxsincosaybx在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab练习把下列普通方程化为参数方程.22149xy(1)22116yx(2)3cos5sinxy(3)8cos10sinxy(4)把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx)(sin2cos3为参数yx练习O是坐标原点，P是椭圆上离心角为-π/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是.9322331tan6sin2cos3yx解：把代入椭圆参数方程)1,233(可得P点坐标所以直线OP的倾角的正切值是:xyOM(3cos,2sin)解：因为椭圆的参数方程为3cosy2sinx(为参数)，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为5mind14922yx例1、如图，在椭圆上求一点M，使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.14922yx例1、如图，在椭圆上求一点M，(1)使M到直线l：x+2y-10=0的距离最小.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy例2、已知椭圆有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。双曲线的参数方程AB'BOyxMA'以原点O为圆心,a,b(a0,b0)为半径分别作同心圆C1,C2.设A为圆C1上任一点,作直线OA,过A作圆C1的切线AA'与x交于点A',过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。过点A',B'分别作y轴,x轴的平行线A'M,B'M交于点M,设OA与OX所成角为φ(φ∈[0,2π),φ≠π/2,φ≠3π/2)求点M的轨迹方程,并说出点M的轨迹。②)0,0(12222babyax研究双曲线的参数方程,1上在圆因为点CA,sin,cosbaA的坐标为,sin,cosbaOA所以sin,cos`aaxAA,`AAOA因为从而所以,0`AAOA.0sincoscos2aaxa记解得.cosax.sec,seccos1ax则,`的终边上在角因为点B.tan,tanbyby即由三角函数定义有的轨迹的参数方程为点所以M,,1cossincos1222因为,1tansec22即,,的轨迹的普通方程为②后得到点从③消去参数所以M,这是中心在原点.轴上的双曲线焦点在x.23,2,2,0且的范围为通常规定参数AB'BOyxMA'由圆的参数方程得点.tan,secbyax为参数•baoxyMBA'B'A'OBBy在中，(,)Mxy设|'|||tanBBOBtan.b'OAAx在中，|||'|cosOAOAcosasec,asec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数2a222xy消去参数后，得-=1,b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。事实上1.已知参数方程11xttytt(t是参数,t0)化为普通方程,画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是参数表示什么曲线?画出图形.练习:的两个焦点坐标。、求双曲线tan34sec32{3yx(215,0)13yx3sec2{()_______tanxy、双曲线为参数的渐近线方程为4?,.,,,,0,122222以发现什么结论由此可的面积探求平行四边形两点近线交于分别与两渐行线作双曲线两渐近线的平过点为原点上任意一点为双曲线，设如图例MAOBBAMObabyaxMAMBOxyAMBOxy.xaby双曲线的渐近线方程为解,tan,secba不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为)sec(tanaxabby则直线MA的方程为代入把xaby)tan(sec2axA解得点A的横坐标为)tan(sec2axBB点横坐标同理aAOx设abtan平行四边形MAOB的面积为2sin||||OBOASMAOB平行四边形2sincoscosBAxx2sincos4tansec2222a.22tan222ababaa由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关sec()tanxayb为参数2222-1(0,0)xyabab的参数方程为：3[0,2)22通常规定且，。说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.22221xyab22sec1tan⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.222222minmin(sec,tan)sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,,34431QOQOQPQ解：设双曲线上点的坐标为先求圆心到双曲线上点的最小距离当即或时22221:(2)11OxyPxyQPQ例、已知圆上一点与双曲线上一点，求、两点距离的最小值例3例4求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A2A1BAyxO),tan,sec(aaB)tan,sec(aaA则222ayx证明：设双曲线方程为取顶点A2(a,0),弦AB∥Ox，,sectan,sectan22aaakaaakBAAA122BAAAkk∴弦AB对A1张直角，同理对A2也张直角．MOyx·B·A)0,0(12222babyax)0,(0xabax220||例5已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,求证：)tan,sec(ba，)tan,sec(ba解：设A，B坐标分别为))tan(tan2b))sec(sec2(a则中点为M于是线段AB中垂线方程为)sec(sec2)tan(tan)sec(sec)tan(tan2axbaby)0(,0xP)sec(sec2220abax将代入上式,∴abax220||2|secsec|(∵A，B相异)，例6求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。抛物线的参数方程MFOYXA)10000(215001002gttgtytx为参数，且前面曾经得到以时刻t为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？pxy22以抛物线的普通方程为例，其中p为焦点到准线的距离。设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α)2,2(显然，当α在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程.tanxy因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得pxy22由方程tan2tan22pypx(α为参数)这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.tan1t),0()0,(t如果令则有ptyptx222（t为参数）tan2tan22pypx(α为参数)当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),),(t因此，当时，ptyptx222（t为参数）就表示整条抛物线．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2121212121212121,1,)(,,)(22{1ttDttCttBttAMMttMMtptyptx、、，、、所在直线的斜率是则弦所对应的参数分别是，上异于原点的不同两点为参数、若曲线212221212122221ttptptptptkMM的轨迹方程。的中点，求点为线段点，上的动点，给定点为抛物线、设PMMPMxyM002)0,1(22C练习，和别是两点对应的参数方程分解：由于2121,ttMM的坐标分别为和则可得点21MM，)2,2(),2,2(22221211ptptMptptM)0(22ppxy例1如图，O为原点，A,B为抛物线上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程．1,0)2()2(21212221ttttptpt所以即),(,,yxBAM的坐标分别为解：设点)0,)(2,2(),2,2(2121222121ttttptptptpt且)2,2(),2,2(),,(222121ptptOBptptOAyxOM则))(2),(2(122122ttpttpAB,0,OBOAOBOA所以因为三点共线，且BMAyptxptMB,,)2,2(222,0,OBOMABOM所以由0)(2)(2122122ttpyttpx,0)(21yttx)0(21xxytt即),2,2(121ptyptxAM当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？的轨迹方程这就是点即Mxpxyx)0(0222)2)(2()2)(2(122221ptyxptyptptx02)(2121xtpttty化简，得02)(xpxyy.42pAOB的面积最小，最小值为12)2()2(21121221ttpptptOA＝12)2()2(22222222ttpptptOB)1()1(22221212ttttpSAOB2222212ttp4)(22212ttp24p轴对称时，关于，即当点当且仅当xBAtt,21）点）为半径的圆（除去（为圆心，）的轨迹方程是以（另一个交点的两根，为方程即为直径的圆的方程为以为直径的圆的方程为则以（）设（法0,00,)0