高中数学必修一函数模型及其应用

函数模型及其应用了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给出，其中m0,［m］是大于或等于m的最小整数(如［4］=4,［2.7］=3,［3.8］=4).若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电话费为()CA.3.71元B.3.97元C.4.24元D.4.77元由题设知,f(5.5)=1.06×(0.50×［5.5］+1)=1,06×(0.5×6+1)=4.24.故选C.2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01BA.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=()x1212将各组数据代入验证，选B.3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（）AA.10元B.20元C.30元D.元403两种话费相差为Δy，根据几何关系可得Δy=Δy′,=12,Δy′=10，所以Δy=10.20y4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N*)的关系为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为（）CA.2B.4C.5D.6平均利润=≤12-10=2,当且仅当x=,即x=5时,等号成立,故选C.yx21225xxx25x函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型：①一次函数模型:f(x)=kx+b(k、b为常数,k≠0);②反比例函数模型：f(x)=+b(k、b为常数,k≠0);③二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;④指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常数，k≠0,a0且a≠1);kx⑤对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数,m≠0,a0且a≠1);⑥幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0,n≠0);⑦“对勾”函数模型：f(x)=x+(k为常数,k0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“对勾号”,故我们把它称之为“对勾”函数模型；⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.kx题型一函数模型的选择典例精讲典例精讲例1扇形的周长为c(c0)，当圆心角为多少弧度时，扇形面积最大？当r=时，Smax=,此时|α|====2.所以当圆心角大小为2rad时，扇形面积最大，为.216clr2crr42rrr4c216c(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r0,所以0r.面积S=lr=(c-2r)r=(-r)r(0r),2c12122c2c当且仅当α=，即α=2时，等号成立.所以当圆心角大小为2rad时，扇形面积最大，为.4216c(方法二)因为c=l+2r=αr+2r,所以r=.所以S=αr2=α·()2==≤122ca222(2)caa242(2)caa242(24)caa2ca216c=.点评点评(1)虽然问“α为多少时”，但若以α为自变量，运算较大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半径为自变量，是一个简单的二次函数模型.同样，若以弧长l为自变量，也是一个二次函数模型.所以在构造函数过程中，要合理选择自变量.(2)一般的，当线绕点旋转时，常以旋转角为变量.(3)合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题.当图易于作出时，常用图象解决；当易分离参数且所得函数的最值易于求解时，可用分离参数法.题型二已知函数模型求参数值例2如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和木桶2的水恰好相等,求：(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.(2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m，解得2e-5m=1m=ln2.所以y1=ae.当y1=时,有=aet=15(分钟).所以经过15分钟木桶1的水是.（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系；（2）经过多少分钟，木桶1中的水是升?8a1525Int8a8a25Int8a已知函数模型求参数值，关键是根据题设条件建立方程求解.点评点评题型三给出函数模型的应用题例3经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件）,价格近似满足f(t)=20-|t-10|（元）.(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.12(1)y=g(t)·f(t)=(80-2t)·(20-|t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)=(30+t)(40-t)(0≤t10)(40-t)(50-t)(10≤t≤20).(2)当0≤t10时,y的取值范围是[1200,1225].在t=5时,y取得最大值为1225；当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1200],在t=20时，y取得最小值为600.答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元,第20天,y取得最小值600元.12点评点评阅读题目、理解题意是解决应用题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的理解.选择数学模型和方法解决实际应用问题是核心步骤，因此解应用题时要根据题目中的数量关系，选择适当的数学模型和方法加以解决.方法提炼方法提炼1.理解题意，找出数量关系是解应用题的前提，因此解题时应认真阅读题目，深刻理解题意.2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关系，选择适当的方法加以解决.3.函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小，效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的性质和数学方法.4.应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际意义.新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习函数模型及其应用第一课时新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞23新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习孙小凯(班级一学生,刚好早晨迟到)早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。问题1tt0d0d0(A)tt0d0d0(B)tt0d0d0(D)tt0d0d0（C)如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞24新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习问题2韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了出租车。我们知道洪泽出租车的价格，凡上车起步价为4元，行程不超过3km者均按此价收费，行程超过3km，按1.5元/km收费。县中到二中的路程是4公里，问韦老师今天坐车用了多少钱？县中到二中的路程是x公里，问韦老师今天坐车会用多少钱？新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞25新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解抽象概括推理演算还原说明答求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：数学模型新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞26新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习•例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总量x（台）的函数关系式。新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞27新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习•例2、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则，其中表示•环境温度，称h为半衰期。•现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间（结果精确到0.1)？012thTTTTT新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞28新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞29新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习函数模型及其应用第二课时新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞30新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习12311.