湖南省株洲市第二中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案

株洲市二中2015年下学期高二年级期末考试试卷理科数学试题时量：120分钟分值：100分一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2ii在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设Rx，则x的一个必要不充分条件是A.3xB.3xC.4xD.4x3．准线方程为1x的抛物线的标准方程是A．xy42B．xy22C．xy22D．xy424.若xxfcossin2)(，则)(f等于A.sinB.cosC.2sin－cosD.－3cos4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①21,ZZ不能比较大小；②21,ZZ是虚数；③虚数不能比较大小.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①5.若),1,1(ka，)1,1,2(b，a与b的夹角为60°，则k的值为A.0或－2B.0或2C.－2D.26.设21,FF是椭圆)5(125222ayax的两个焦点，且821FF，弦AB过点2F，则1ABF的周长为A.12B.20C.241D.4417．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,ab分别为14,18，则输出的aA．0B．2C．4D．148.对于R上可导的任意函数)(xf，若满足0)()1(xfx，则必有A.)1(2)3()3(fffB.)1(2)7()3(fffC.)1(2)3()3(fffD.)1(2)7()3(fff9.8)12(xx的展开式中2x的系数为A．-1792B．1792C．-448D．44810．用数学归纳法证明4221232nnn……，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上A．222(1)(2)kk……（k+1）B．2(1)kC．42(1)(1)2kkD．21k11．已知抛物线24yx的准线过椭圆22221(0)xyabab的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则椭圆的离心率为bA.14B.13C.12D.2312．若存在实常数k和b，使得函数()Fx和()Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：()Fxkxb和()Gxkxb恒成立，则称此直线ykxb为()Fx和()Gx的“隔离直线”，已知函数21()(),()(0),()2lnfxxxRgxxhxexx，有下列命题：①()()()Fxfxgx在31(,0)2x内单调递增；②()fx和()gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4；③()fx和()gx之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是]0,4[；④()fx和()hx之间存在唯一的“隔离直线”2yexe．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13．用反证法证明命题“若Nba,，ab能被2整除，则ba,中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是．14.曲线xycos在上与x轴所围成的平面图形的面积为.15.已知等差数列na中，有naaanaaannnn3321221成立.类似地，在等比数列nb中，有成立.16．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体1111DCBAABCD的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是111DAAA，黄“电子狗”爬行的路线是1BBAB，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2016段、黄“电子狗”爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是．三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分6分)已知函数bxaxaaxxf)2(27)1()(23的图象关于原点成中心对称，求)(xf在区间]5,4[上的最值.18.(本小题满分6分)已知5名学生和2名教师站在一排照相，求:（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？（2）两名教师不相邻的概率为多少？19.(本小题满分8分)已知数列na的前n项和为nS且满足naSnn2.(1)写出321,,aaa，并推测na的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.20.(本小题满分8分)如图，已知四棱锥ABCDP中，底面ABCD为菱形，且2BCAC，PA平面ABCD，FE,分别是PCBC,的中点.(1)证明：PDAE；(2)若H为PD上一点，且PDAH，EH与平面PAD所成角的正切值为415，求二面角CAFE的正弦值.21．(本小题满分10分)已知椭圆C：)0(12222babyax的离心率为23，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：)0()2(222rryx，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OSOR为定值.22.(本小题满分10分)已知函数Rxexfx,)(.(1)设0x，讨论曲线2)(xxfy与直线my公共点的个数；(2)设函数)(xh满足xxfxxhxhx)()(2)(2，8)2()2(fh，试比较)(eh与109的大小.)389.7(2e株洲市二中2015年下学期高二年级期末考试试卷理科数学试题时量：120分钟分值：100分一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2ii在复平面内表示的点在AA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设Rx，则x的一个必要不充分条件是AA.3xB.3xC.4xD.4x3．准线方程为1x的抛物线的标准方程是AA．xy42B．xy22C．xy22D．xy424.若xxfcossin2)(，则)(f等于AA.sinB.cosC.2sin－cosD.－3cos4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是D①21,ZZ不能比较大小；②21,ZZ是虚数；③虚数不能比较大小.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①5.若),1,1(ka，)1,1,2(b，a与b的夹角为60°，则k的值为DA.0或－2B.0或2C.－2D.26.设21,FF是椭圆)5(125222ayax的两个焦点，且821FF，弦AB过点2F，则1ABF的周长为BA.12B.20C.241D.4417．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,ab分别为14,18，则输出的aBA．0B．2C．4D．148.对于R上可导的任意函数)(xf，若满足0)()1(xfx，则必有CA.)1(2)3()3(fffB.)1(2)7()3(fffC.)1(2)3()3(fffD.)1(2)7()3(fff9.8)12(xx的展开式中2x的系数为AA．-1792B．1792C．-448D．44810．用数学归纳法证明4221232nnn……，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上AA．222(1)(2)kk……（k+1）B．2(1)kC．42(1)(1)2kkD．21k11．已知抛物线24yx的准线过椭圆22221(0)xyabab的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则椭圆的离心率为CbA.14B.13C.12D.2312．若存在实常数k和b，使得函数()Fx和()Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：()Fxkxb和()Gxkxb恒成立，则称此直线ykxb为()Fx和()Gx的“隔离直线”，已知函数21()(),()(0),()2lnfxxxRgxxhxexx，有下列命题：D①()()()Fxfxgx在31(,0)2x内单调递增；②()fx和()gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4；③()fx和()gx之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是]0,4[；④()fx和()hx之间存在唯一的“隔离直线”2yexe．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13．用反证法证明命题“若Nba,，ab能被2整除，则ba,中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是“若Nba,，ab能被2整除，则ba,都不能能被2整除”．14.曲线xycos在上与x轴所围成的平面图形的面积为1.15.已知等差数列na中，有naaanaaannnn3321221成立.类似地，在等比数列nb中，有nnnnnnaaaaaa3213221成立.16．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体1111DCBAABCD的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是111DAAA，黄“电子狗”爬行的路线是1BBAB，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2016段、黄“电子狗”爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是1．三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分6分)已知函数bxaxaaxxf)2(27)1()(23的图象关于原点成中心对称，求)(xf在区间]5,4[上的最值.f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.18.(本小题满分6分)已知5名学生和2名教师站在一排照相，求:（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？（2）两名教师不相邻的概率为多少？解：（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，故共有240种；A22A55A5（2）采用“插空法”，先排4名学生，有种方法；再把2个教师插入5个学生形成的6个空中，方法有种．根据分步计数原理，所有满足条件的排法共有3600种19.(本小题满分8分)已知数列na的前n项和为nS且满足naSnn2.(1)写出321,,aaa，并推测na的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.解：(1)a1＝32，a2＝74，a3＝158，….猜测an＝2－12n(5分)(2)①由(1)已得当n＝1时，命题成立；(7分)②假设n＝k时，命题成立，即ak＝2－12k，(8分)当n＝k＋1时，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，∴2ak＋1＝2＋2－12k，ak＋1＝2－12k＋1，即当n＝k＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n∈N＋时，an＝2－12n都成立.(12分)20.(本小题满分8分)如图，已知四棱锥ABCDP中，底面ABCD为菱形，且2BCAC，PA平面5A26ABCD，FE,分别是PCBC,的中点.(1)证明：PDAE；(2)若H为PD上一点，且PDAH，EH与平面PAD所成角的正切值为415，求二面角CAFE的正弦值.20.(1)证明：由AC＝AB＝BC，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面P