实变函数与泛函分析51

第一节Lesbesgue积分的定义及性质第五章积分论1.积分的定义iniiEmEcdxxL1)()()(xiniEE1)()(1xcxiEnii设是(Ei可测且两两不交）上非负简单函数，定义为在E上的Lebesgue积分01001)()(dxxDLE有QxQxxD]1,0[1]1,0[0)(例：对Dirichlet函数01⑴非负简单函数的积分⑵非负可测函数的积分()()sup{()():()0()()}EELfxdxLxdxxExfx为上的简单函数，为f(x)在E上的Lebesgue积分设f(x)为E上非负可测函数，定义|)(||)(|21xx)(lim)(xxfnn)}({xn若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到⑶一般可测函数的积分积分的几何意义：);()()(fEmGdxxfLE)}(0,:),{();(xfyExyxfEGdxxfLE)()(注：当有限时，称f(x)在E上L可积dxxfLdxxfLEE)()(,)()(（要求不同时为）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分）dxxfLdxxfLdxxfLEEE)()()()()()(设f(x)为E上的可测函数，定义⒉积分的性质()()()|()|()()fxfxfxfxfxfx⑴零集上的任何函数的积分为0|()||()|EEfxdxfxdx⑵f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）,且xdxgdxxfxgxfEE)()()()(，则若⑶单调性:dxxfdxxfxdxgdxxfdxxgxfEEEEE)()()()())()((⑷线形:(5)设f(x)是E上的可测函数，，证明a.e.于E0|)(|dxxfE0)(xf001]0||[]0||[nnffnmEmEmEmE，从而可得nnEEEEEmEdxxfdxxfdxxfdxxfnnn1|)(||)(||)(||)(|0从]||[1nfnEE令nnfEE1]0||[且证明：则En为可测集,即f(x)=0a.e.于E。([01/n用到了积分的可加性(6)若f可积，则f几乎处处有限.[||]nfnEE令证明：lim0nnmE所以dxxfdxxfmEnEEnn|)(||)(|对每个n，有0lim)lim()(1]|[|nnnnnnfmEEmEmmE从而[||]1,limfnnnnEEE123则EEE且321EEE则(7)积分的绝对连续性说明：若|f(x)|M,则只要取δ=ε/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。,0,0,,时当meEedxxfdxxfee|)(||)(|若f(x)在E上可积，则及任何可测子集有即：当积分区域很小时，积分值也很小.积分的绝对连续性的证明MeeeeMMdxdxfdxfdxfmeEe222)|(|||||时，，且，则当令|})(|)(0xfx且上简单函数，为ExdxxdxxfEE)(:)(sup{|)(|证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积故对任意ε，存在E上的简单函数φ(x)，22()|()|(),(|()|())EEEExdxfxdxxdxfxxdx故有且|,)(|)(0xfx使在E上由于φ(x)为简单函数，故存在M，使得|φ(x)|MiniibamEdxxfL10],[lim)()(yiyi-1分割值域Lesbesgue积分xi-1xiiniiTbaxfdxxfR10||||)(lim)()(分割定义域Riemann积分⒊非负可测函数可积的等价描述12100kkyyyyy令其中,1kkyy,3,2,1,0})(:{1kyxfyxEkkk设f(x)为E上几乎处处有限的非负可测函数,mE+∞，在[0,+∞)上作分划:kkkmEy0kkkEmEydxxfL00lim)()(且则f(x)在E上可积当且仅当yk+!yk非负可测函数可积的等价描述的证明000()limkkEkfxdxymE当时，即有00010100)()(kkkkkkkkkkkkkkEEkkkmEymEmEymEyymEydxxfdxxfmEyk）（从而01001)(,2,1,0,)(kkkkEkkkkkEkkmEydxxfmEykmEydxxfmEykk故由于证明：yk+1yk例：若E1,E2,…,En是[0,1]中的可测集，[0,1]中每一点至少属于上述集合中的k个(k≤n),则在E1,E2,…,En中必有一个点集的测度大于或等于k/n010nkkiinnikinimEmEnkimE若对每个，，则，从而得到矛盾，所以存在，使。，所以时，有证明：当]1,0[1]1,0[111)()()(]1,0[kdxxdxxmEkxxiiiEniEniiniEni例设fn(x)为E上非负可测函数列，EfdxxfnEnn于，则若00)(lim0][)()()(][][nfEnfEnEnfmEdxxfdxxfdxxfnn有证明：,00][lim0)(limnnnEnfmEdxxf，所以又0nfE从而于用到了积分的可加性