3.正弦定理、余弦定理和解斜三角形(上课用)

正弦定理(1)正弦定理：sinsinsinabcABC2R（其中R为该三角形外接圆的半径）(2)常见变形公式：2sinaRAsin2aAR::sin:sin:sinabcABC（角化边）（边化角）（比例）一、知识回顾(2)常见变形公式：222cos2bcaAbc余弦定理(边角互化，求角,判别角)求边求角CabBacAbcSABCsin21sin21sin21三角形的面积公式12ABCS底高1()(2ABCSabcrr是该三角形内切圆半径）43A1200271、在△ABC中，已知b＝12，A＝300，B＝1200，则a＝。A.一解B.两解C.无解D.不确定3、在△ABC中，若a＝3，b＝4，，则这个三角形中最大角为。37c4、已知△ABC中，a＝4，b=6，C＝600，则c＝。2、在△ABC中，b=，B＝600，c＝1，则此三角形有（）3三角形的边角运算解斜三角形的类型：②已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用定理。③已知三边求三角，用定理。④已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，用定理。①已知两角和任一边，求其他两边和一角，用定理可归纳出——正弦正弦余弦余弦求角时要注意用“大边对大角”进行取舍。要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式。，，，中，已知在例312681SabABC、的大小．求CCabSsin21解：236831222sinabSC)0(，又C323或C某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10千米处（如图）．现在要确定火场C距A、B多远．CAB将此问题转化为数学问题，就是：“在△ABC中，已知∠CAB=130°，∠CBA=30°，AB=10千米，求AC与BC的长．”二、实例引入这就是一个解斜三角形的问题北东4060CcAasinsin)1(解：658530180A又69.765sin85sin7sinsinACac40sin80sin5sinsin)2(ABab66.740sin60sin5sinsinACac74.660sin66.7521sin21CabSABC58.16第一类：已知两角一边的面积．与、求，，，中，已知在ABCcbaBAABC58040)2(；精确到求，，，中，已知在、例)01.0(85307)1(2cCBaABC．、、　　求，，，中，已知、在例BAcCbaABC451363ABC61345Cabbaccos2222解：4221362136222cbcacbA2cos222213262132222160AA为三角形内角，756045180B75602BAc，，第二类：已知两边一夹角如果此时再用正弦定理，会出现什么问题？第三类：已知三边40CAB在△ABC中，已知∠CAB=130°，∠CBA=30°，AB=10千米，求AC与BC的长．CAcaCcAasinsinsinsin2220sin130sin10CBcbCcBbsinsinsinsin1520sin30sin10答：火场C在距离观测点A北偏西40度方向的约15千米处，在距离观测点B北偏西60度方向约22千米处．解决实例问题已知两角一边，利用正弦定理北东60（1）在中，，判断ABCcoscosaAbBABC的形状.解：根据正弦定理得2sin,2sinaRAbRB代入条件并化简得sincossincosAABB即sin2sin2AB2,2(0,)AB22AB或者22AB得或AB2AB所以为等腰三角形或直角三角形.ABC解毕六、三角形的形状判断例1.在中，，判断ABCcoscosaAbBABC的形状.解法二：根据余弦定理得222222cos,cos22bcaacbABbcac代入条件并化简得2222222()()()cababab所以为等腰三角形或直角三角形.ABC解得或ab222cab解毕（2）在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝8，△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能三角形的形状判断2222536641cos0225620abcCabC例2.若锐角的三边长分别是，,1,2aaaaABC试确定的取值范围.解：0(1)2aaaa由两边之和大于第三边，解得1a由最大角为锐角，得222(1)(2)02(1)aaaaa解得3a综上，当时，边长满足条件.3a解毕01201、在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝5：7：8，则B＝（1）求该三角形面积;（2）记AB中点为D,求中线CD的长.02545,10,cos.5ABCBACC3、已知中，,,2,cos()ABCabccaddBd2、中，若成等比数列，且则1.4A3.4B2.4C2.3DB作业中，在ABC、1；、，求，，　已知SaCAb75602)1(．、，求，，　已知SbCca30232)2(的长．和，求　，，中，已知在BCACABCBACABABC、10301352．，求，，中，已知在cSbaABC、12583的形状．　试判断，，中，已知在ABCacbBABC、2605的长．，求，，　上一点，是，中，已知在ABDCACADBCDBABC、375454CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222六、课堂小结1、用两边及夹角的正弦表示的三角形面积公式．2、三角形中的边角关系：3、解斜三角形的几种类型．CcBbAasinsinsin余弦定理：CBA正弦定理：CabBacAbcSABCsin21sin21sin21内角和定理：CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222一、知识回顾1、三角形中的边角关系：CcBbAasinsinsin余弦定理：CBA正弦定理：内角和定理：求边求角