随机过程Chapter2.3

第二章Poisson过程2.1Poisson过程2.2与Poisson过程相联系的若干分布2.3Poisson过程的推广一、非齐次Poisson过程定义2.3设S.P.{N(t),t≥0}取非负整数值,且满足:(1)N(0)=0；(2)N(t)是一个独立增量过程；(3)P{N(t+h)-N(t)≥1}=λ(t)h+o(h)；(4)P{N(t+h)-N(t)≥2}＝o(h)；则称S.P.{N(t),t≥0}是具有速率函数为λ(t)的非齐次Poisson过程.3例1：记录值过程：设X1,X2,…,是一列独立同分布非负连续随机变量，其风险率函数为()其中f(t)与F(t)分别是X的密度函数和分布函数)．令X0=0，当{Xn}的取值xn出现xnmax{x1,…,xn-1}时，则在时刻n有一个记录，Xn的取值xn称为一个记录值．再令N(t)表示小于或等于t的记录值的个数，这个计数过程称为记录值过程．是非齐次泊松过程．()t()()1()fttFt注：1.λ(t),t0连续，则()()exp!kththttuduPNthNtkuduk注：2.λ(t)的物理背景：设r.v.X表示某元件的寿命，λ(t)通常表示为失效率.P{X≤t+t|Xt}表示元件在(t,t+t]时刻失效的概率.1()PtXttFttFtPXttXtPXtFt01()1()1()tFttFttFttFtfttttFtFtFt二、复合Poisson过程•定义2.4设S.P.{N(t),t≥0}是一个Poisson过程，Yi,i=1,2,…N(t)是一相互独立的随机变量序列，且与{N(t),t≥0}相互独立.记则称S.P.{X(t),t≥0}是一个复合Poisson过程.()1()NtiiXtY注：1.复合Poisson过程主要描述了服从Poisson过程出现的事件所伴随的一系列事件所形成的随机和的变化过程，具有广泛的实际应用.2.记Yi,i=1,2,…N(t)的矩母函数为则的矩母函数为当N(t)=n时，则有()sYYgsEe()1()NtiiXtY()()()()11(,)exp{}exp{}()NtNtsXtXtiiiigtsEeEsYEEsYNt()111exp{}()exp{}()exp{}()NtniiiinniYiEsYNtnEsYNtnEsYgs()()000(,)()()()()!!exp()1sXtXtnnnnYttYnnYgtsEeNtnPNtngsttgseenntgs'()0[()],[()][][]XtsEXtgtsENtEYtEY22[()][()][][()][][][]VarXtENtVarYVarNtEYtVarYtEY3.X(t)的分布其中为Y1分布函数G(x)的n重卷积()101010()()()()!!NtniiininnnttinninPXtxPYxPYxNtnPNtnttPYxeeGxnnnGxGGGxK三、更新过程01112{}1,2,()0,,0()max{:}(){}nnnnnnXnXFxWWXWXXXtNtnWttNtXKKK设非负随机变量序列，，满足：独立同分布，共同分布为；若记，，对，令，它表示在时刻之前发生的更新事件数，则称为与相伴的更新过程．定义2.5性质.1(){()}()()(){}.nnnnNtPNtnFtFtFtPWtFFFK更新过程的一维分布族其中12证：1{()}{}nnNtnWtW因为事件与事件相同，所以111{()}{}{}{}()()nnnnnnPNtnPWtWPWtPWtFtFt13()()[()].NtmtENt更新过程的均值函数称为更新函数定义.定理.1()().nnmtFt更新函数由更新分布唯一确定，有证：1111()[()]{()}[()()]()nnnnnnmtENtnPNtnnFtFtFt1415定理(基本更新定理)()[]()1lim.tNtEXmtt对更新过程，记，则单位平均更新数的极限