随机过程随机过程的基本概念

第二章随机过程的基本概念马春光[e-mail]随机过程的定义在客观世界中，有许多随机现象表现为带随机性的变化过程，它不能用一个或几个随机变量来刻画，而要用一族无穷多个随机变量来描绘，这就是随机过程.随机过程是概率论的继续和发展.被认为是概率论的“动力学”部分.它的研究对象是随时间演变的随机现象.事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来加以描述.对事物变化的全过程进行一次观察得到的结果是一个时间t的函数，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察所得的结果是不同的，而且每次观察之前不能预知试验结果.2.1随机过程的定义例2.1.1当t(t≥0)固定时，电话交换站在[0,t]时间内收到的呼叫次数是随机变量，记为X(t).X(t)服从参数为λt的Poisson分布，其中λ是单位时间内平均收到的呼叫次数,且λ0.如果t从0变到+∞，t时刻前收到的呼叫次数需用一族随机变量{X(t),t∈[0,+∞]}来表示，则该随机现象就是一个随机过程.对电话交换站做一次实验，便可得到一个“呼叫次数—时间函数”(即呼叫次数关于时间t的函数x(t).2.1随机过程的定义这个“呼叫次数—时间函数”是不可能预先确定的，只有通过测量才能得到.由于呼叫的随机性，在相同条件下，每次测量都产生不同的“呼叫次数—时间函数”.2.1随机过程的定义例2.1.2电子元件或器件由于内部微观粒子（电子）的随机热噪声引起的端电压称为热噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变量，记为V(t).如果t从0变到+∞，t时刻的热噪声电压需要用一族随机变量{V(t),t∈[0,+∞]}来表示，则该随机变量就是一个随机过程.对某种装置做一次试验，便可得到一个“电压—时间函数”v(t).这个“电压—时间函数”是不可能预先确知的，只有通过测量才能得到.如果在相同的条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同的.所谓一族随机变量，首先是随机变量，从而是该试验样本空间上的函数；其次形成一族，因而它还取决于另一个变量，即还是另一参数集上的函数.所以，随机过程就是一族二元函数.定义2.1.1设(Ω,F,P)是一个概率空间，T是一个实的参数集，定义在Ω和T上的二元函数X(ω,t)，如果对于任意固定的t∈T，X(ω,t)是(Ω,F,P)上的随机变量，则称{X(ω,t),ω∈Ω,t∈T}为该概率空间上的随机过程（StochasticProcess），简记为{X(t),t∈T}.2.1随机过程的定义2.1随机过程的定义{X(ω,t),ω∈Ω,t∈T}：固定t=t0∈T，X(t0)是一个随机变量（第i次试验值为xi(t0)）.对随机过程做一次试验，即固定样本点ω∈Ω，得到一个参数t的普通函数x(t).定义2.1.2设{X(t),t∈T}是随机过程，则当t固定时，X(t)是一个随机变量,称之为{X(t),t∈T}在t时刻的状态.随机变量X(t)(t固定，t∈T)所有可能的取值构成的集合,称为随机过程的状态空间，记为S.定义2.1.3设{X(t),t∈T}是随机过程，则当ω∈Ω固定时，X(t)是定义在上T不具有随机性的普通函数，记为x(t),称为随机过程的一个样本函数.其图像成为随机过程的一条样本曲线（轨道或实现）.2.1随机过程的定义例2.1.3设X(t)=Vcosωt,﹣∞t+∞其中ω为常数，V服从区间[0,1]上的均匀分布，即(1)画出{X(t),﹣∞t+∞}的几条样本曲线；(2)求时随机变量X(t)的概率密度函数;(3)求时X(t)的分布函数1,01()0,Vvfv其他30,,,44t2t2.1随机过程的定义解(1)取则;取V=0,则x(t)=0;取V=1，则x(t)=cosωt.这些都是t的确定函数，即随机过程的样本函数.23V2()cos3xtt2.1随机过程的定义(2)当t=0时，X(0)=V，故X(0)的概率密度函数就是V的概率密度函数，即当时，，故的概率密度函数为(0)1,01()0,Xxfx其他4t1()cos442XVV()4X()412,0()20,Xxfx其他2.1随机过程的定义当时,，故的概率密度函数为当时，，故的概率密度函数为34t331()cos442XVV3()4X3()412,0()20,Xxfx其他t()cosXVV()X()1,10()0,Xxfx其他2.1随机过程的定义(3)当时，，不论V取何值,均有，因此，从而的分布函数为2t()cos022XV()02X(()0)12PX()2X()21,0()0,0XxFxx2.1随机过程的定义第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的定义2.2随机过程的分类和举例2.3随机过程的有限维分布函数族2.4随机过程的数字特征2.5两个随机过程的联合分布和数字特征2.6复随机过程2.7几类重要的随机过程2.2随机过程的分类和举例随机过程可以根据参数集T和状态空间S是离散集还是连续集分为四大类.1、离散参数、离散状态的随机过程这类过程的特点是参数集是离散的，同时固定t∈T，X(t)是离散型随机变量即其取值也是离散的。例2.2.1（贝努利过程）考虑抛掷一颗骰子的试验，设Xn是第n(n≥1)次抛掷的点数,对于n=1,2,…的不同值，Xn是不同的随机变量,因而{Xn,n≥1}构成一随机过程，称为贝努利过程,其参数集T={1,2,…}，状态空间S={1,2,3,4,5,6}.例2.2.2设有一质点在x轴上作随机游动，在t=0时质点处于x轴的原点O，在t=1,2,…时质点可以在x轴上正向或反向移动一个单位，作正向移动一个单位的概率为p，作反向移动一个单位的概率为q=1-p，在t=n时，质点所处的位置为Xn，则{Xn,n=1,2,…}为一随机过程，其参数集T={0,1,2,…}，状态空间S={…,-2,-1,0,1,2,…}。2.2随机过程的分类和举例2、离散参数、连续状态的随机过程这类过程的特点是参数集是离散的，对于固定的t∈T，X(t)是连续性随机变量。例2.2.3设Xn，n=…,-2,-1,0,1,2,…是相互独立同服从标准正态分布的随机变量，则{Xn，n=…,-2,-1,0,1,2,…}为一随机过程，其参数集T={…,-2,-1,0,1,2,…}，状态空间S=(﹣∞,+∞)2.2随机过程的分类和举例3、连续参数、离散状态的随机过程这类过程的特点是参数集是连续的，而对于固定的t∈T，X(t)是离散型随机变量。例2.2.4（Possion过程）设X(t)表示在期间[0,t]内到达服务点的顾客数，对于t∈[0,+∞]的不同值，X(t)是不同随机变量，因而{X(t)，t≥0}构成一随机过程，其参数集T=[0,+∞]，状态空间S={0,1,2,…}.2.2随机过程的分类和举例4、连续参数、连续状态的随机过程这类过程的特点是参数集是连续的，而对于固定的t∈T，X(t)是连续型随机变量。例2.2.5设X(t)=Acos(ωt+Φ),﹣∞t+∞,其中A0,ω是常数,Φ服从区间[-π,π]上的均匀分布，则{X(t),﹣∞t+∞}是一随机过程，其参数集T=(﹣∞,+∞)，状态空间S=[-A,A].2.2随机过程的分类和举例第2章随机过程的基本概念2.1随机过程的定义2.2随机过程的分类和举例2.3随机过程的有限维分布函数族2.4随机过程的数字特征2.5两个随机过程的联合分布和数字特征2.6复随机过程2.7几类重要的随机过程2.3随机过程的有限维分布函数族定义2.3.1设{X(t),t∈T}是一个随机过程，对于任意固定的t∈T,X(t)是随机变量，称F(t;x)=P(X(t)≤x),x∈R,t∈T为随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数；对于任意固定的t1,t2∈T，X(t1),X(t2)是两个随机变量，称F(t1,t2;x1,x2)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2),x1,x2∈R,t1,t2∈T为随机过程的二维分布函数；一般地，对于任意固定的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)是n个随机变量，称F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,…,X(tn)≤xn),xi∈R,ti∈T,i=1,2,…,n为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数.2.3随机过程的有限维分布函数族定义2.3.2设{X(t),t∈T}是一随机过程，其一维分布函数，二维分布函数，……，n维分布函数，……，的全体F={F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn),xi∈R,ti∈T,i=1,2,…,n,n∈N}称为随机过程{X(t),t∈T}的有限维分布函数族.容易看出，随机过程的有限维分布函数族具有对称性和相容性.2.3随机过程的有限维分布函数族1、对称性设i1,i2,…,in是1,2,…,n的任一排列，则事实上，1212112211221212(,,,;,,,)((),(),,())((),(),,())(,,,;,,,)nnnniiiiiiiiiiiinnnnFtttxxxPXtxXtxXtxPXtxXtxXtxFtttxxx12121212(,,,;,,,)(,,,;,,)nniiiiiinnFtttxxxFtttxxx2.3随机过程的有限维分布函数族2、相容性设mn,则事实上，121212112(,,,;,,,)(,,,,,;,,,,,,)mmmmnmFtttxxxFtttttxxx………………121211221122,1121;12(,,,;,,,)((),(),,())((),(),,()(),,())(,,,,,,,,,,,,)nnnniiiiiiiiiiiimmmnmmnmFtttxxxPXtxXtxXtxPXtxXtxXtxXtXtFtttttxxx2.3随机过程的有限维分布函数族定义2.3.3设{X(t),t∈T}是一随机过程，对于任意固定的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)是n个随机变量，称ui∈R,ti∈T,i=1,2,…,n,j=为随机过程{X(t),t∈T}的n维特征函数.1212112211221212(,,,;,,,){exp[(()()())]}exp[(()()())](,,,;,,,)nnnnnnnntttuuuEjuXtuXtuXtjuxtuxtuxtdFtttxxx……………?…12.3随机过程的有限维分布函数族称为随机过程{X(t),t∈T}的有限维特征函数族.例2.3.1设X(t)=A+Bt,t≥0,其中A和B是相互独立的随机变量，分别服从正态分布N(0,1)，试求随机过程{X(t),t≥0}的一维和二维分布.1212{(,,,;,,,),,,1,2,,,}nniitttuuuuRtTinnN………2.3随机过程的有限维分布函数族解先求一维分布.是正态随机变量，因为E[X(t)]=EA+tEB=0D[X(t)]=DA+t2DB=1+t2所以X(t)服从正态分布N(0,1+t2