11高等数学第11章无穷级数教案1

《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋第十一章无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；3、掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件；−p4、掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法；5、掌握交错级数的莱布尼茨定理；6、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；7、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，8、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；9、掌握，，xexsinxcos，)1ln(x+和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数；了解幂级数在近似计算上的简单应用；α)1(x+10、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。],[ll−],0[l二、本章各节教学内容（列出节名）及学时分配：（20学时）第一节常数项级数的概念及性质2学时第二节常数项级数的审敛法4学时第三节幂级数3学时第四节函数展开成幂级数3学时第五节函数的幂级数展开式的应用2学时第七节傅里叶级数4学时第八节一般周期函数的傅里叶级数1学时本章小结１学时．三、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．四、本章教学内容的深化和拓宽：五、本章的思考题和习题：第一节习题11—1教材193页：1(4)；2(3)；3(1)(2)；4(1)(5)．第二节习题11-2教材206页：1(2)(3)(5)；2(1)(3)；4(1)(2)(3)(6)，5(1)(2)(4)(5)．第三节习题11-3教材215页：1(3)(4)(7)(8)，2(1)(3)．第四节习题11-4教材223页：2(2)(4)(5)；5．第五节习题11-5教材229页：1(2)第六节习题11-6教材250页：1(1)；2(2)；6；7．第七节习题12-7教材256页：1(3)；2(1)．第十一章无穷级数第1页共41页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数的一种工具，也是研究函数的性质和进行数值计算的工具，并且是学习后继课程的基本础。第一节常数项级数的概念及性质讲稿内容一、常数项级数概念：在数学中，有限项相加的意义，大家是知道的，但是要把无穷多个项相加，这又是什么意思呢？这就是无穷级数所要讨论的内容。在生产实践中是否有无穷多项相加的例子呢？特别是无穷多个数相加的例子呢？回答是肯定的，下面我们举一个无穷多个数相加的例子，以便说明无穷级数的概念。引例用逼近的方法计算半径为R的圆的面积。具体做法如下：①作圆的内接正六边形，并计算出正六边形的面积为，可作为圆的面积的粗糙近似。1a1a②作圆的内接正十二边形：以正六边形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积为，则为圆的内接正十二边形的面积，它可以作为圆的面积的一个较好的近似；2a21aa+③在十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，其面积和为，则为圆的内接正二十四边形的面积，它可以作为圆的面积的一个更好近似。如此继续下去，则内接正多边形的面积越来越来接近圆的面积，这样作了n次（即边形）的面积为3a321aaa++n23×naaaa+⋅⋅⋅+++321④如果边数无限增多，即∞→n，和式naaaa+⋅⋅⋅+++321的极限（必定存在）则为圆的面积，这样就出现了无穷多项相加：⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++naaaa321事实上，定积分等的定义中，也出现了无穷多项相加。定义给定数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,21nuuu，则⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++nuuu21叫做常数项无穷级数，或简称级数，记为∑，即∞=1nnu∑∞=1nnu⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=nuuu21其中第n项叫做级数的一般项。nu常数项无穷级数实际上就是无穷多个数相加，那么，这个和式是否具有“和数”呢？从上面求圆的面积的例子来看，是有“和数”的，这个“和数”就是圆的面积，但有些无穷级数就不一定有“和数”，如⋅⋅⋅+−++−+)1(1)1(1因此，无穷级数只是一种形式上的相加，是否具有“和数”还不一定，那么这个“和数”的确切意又是什么呢？为了回答这个问题，我们引入部分和数列的概念。令⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅+==,,,,2121211nnuuuSuuSuS第十一章无穷级数第2页共41页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋则构成一数列，称为级数的⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21nSSS∑∞=1nnu部分和数列，∑的前项和称为级数的∞=1nnun∑∞=1nnu部分和。我们用部分和的极限存在与否来定义级数的“和”是否有意义，即级数收敛与发散的定义。定义如果级数∑的部分数列∞=1nnu{}nS有极限，即ssSnn=∞→lim，则称无穷级数∑∞=1nnu收敛，其极限值叫做这个s级数的和，即。sunn=∑∞=1如果{没有极限，称无穷级数∑}nS∞=1nnu发散。注：1．部分和数列{与无穷级数∑有相同的敛散性，收敛时}nS∞=1nnu)(limlimlim211nnnkknnnuuuuSs+⋅⋅⋅++===∞→=∞→∞→∑，这与处理反常积分的定义类似。2．∑收敛时，∞=1nnu⋅⋅⋅++=−=++21nnnnuuSsr称为∑的∞=1nnu余项，易知：∑∞=1nnu收敛0lim=⇔∞→nnr例讨论下列级数的敛散性（1）∑∞=+1)1(1nnn（2）⋅⋅⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+⋅⋅⋅+⋅+⋅)15)(45(11161611nn（提问：通项）（3）∑∞=1nn（4）()∑∞=−+−11212nnnaa（5）∑-------∞=0nnaq等比级数，或称为几何级数解：1,1)1(10≠−−==∑−=qqqaaqSnnkkn1）当1q时，qaSnn−=∞→1lim，收敛。2）当1q时，，发散。∞=∞→nnSlim3）当1=q时，∞→==naSqn,1，发散。第十一章无穷级数第3页共41页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋aaaaaSqnn)1(,1−+⋅⋅⋅+−+−=−=，极限不存在，发散。综上所述：等比级数，当1q时收敛，其和为公比第一项−1当1≥q时发散。（6）∑∞=1222lnnn，∑∞=189nnn例试用无穷级数说明循环小数313.0=。解：311011103103103103003.003.03.03.032=−=⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=二、收敛级数的基本性质性质1：若级数收敛于和s，则级数∑∞=1nnu∑∞=1nnku也收敛，且其和为ks．即.11∑∑∞===∞=nnukkskunn证明：设与的部分和分别为∑∞=1nnu∑∞=1nnkunnSσ,，则kskSkSkukukunnnnnnn==⇒=+⋅⋅⋅++=∞→∞→limlim21σσ，得证。说明：①级数的各项同时乘以一个不为0的常数，级数的敛散性不变；②可以提取级数各项的公因子。性质2：若级数、分别收敛于和s、σ，则级数也收敛，且其和为s±σ．(证明)∑∞=1nnu∑∞=1nnv()∑∞=+1nnnvu说明：收敛级数的和差仍收敛，且和差的级数等于级数的和差。或者说收敛级数可以逐项相加与逐项相减。性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．不过收时其和一般要改变。(证明)证明：设级数去掉前面项得到级数∑∞=1:nnuAk∑∞+=1:knnuB，其部分和分别为nnsσ,，则kknnkknssuu−=+⋅⋅⋅+=+++1σ，由极限理论知kknnnnss−=+∞→∞→limlimσ，即nknsσ与+有相同的敛散性，即不改变敛散性。性质4：若级数收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；∑∞=1nnu证明：⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∞=3011105211uuuuuuunn第十一章无穷级数第4页共41页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋加括号后新级数⋅⋅⋅+++=∑∞=3211vvvnn∑∞=1nnu的部分和一定对应于ns∑∞=1nnv的部分和nσ，数列{}nσ是{一个子列，所以}nsnnnns∞→∞→=limlimσ注意：1．加了括号后级数收敛，原级数（去掉括号后）不一定收敛。如：⋅⋅⋅+−+−+−)()()(aaaaaa2．加了括号后级数发散，原级数（去抻括号后）一定发散。性质5(级数收敛的必要条件)：若级数∑∞=1nnu收敛，则它的一般项un趋于零，即．反之不成立；0lim=∞→nnu证明：设的部分和为，，则∑∞=1nnunSsSnn=∞→lim0lim1111=⇒−=⇒+=++⋅⋅⋅+=∞→−−−nnnnnnnnnnuSSuuSuuuS下面说明调和级数∑∞=11nn是发散的：依次将调和级数的两项、两项、四项、八项、…、项括在一起，m2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++++)21121()8151()4131()211(1mm这个级数的前项)1(+m)21121()8151()4131()211(11+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++++=mmmS∞→++⋅⋅⋅++)1(21212121m即调和级数加括号后是发散的，故原级（调和级数）发散。例讨论下列级数的敛散性（1）⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n232222（2）⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++)9861()9861()9861(222nnn（3）⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++++n3131313020102（4）⋅⋅⋅+++544332（一般项不趋于0）（5）⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+++nn21225232132解：nnnS21225232132−+⋅⋅⋅+++=143221225232121+−+⋅⋅⋅+++=nnnS第十一章无穷级数第5页共41页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋两式相减得11132212211))21(1(2121222222222121+−+−−−−+=−+⋅⋅⋅+++=nnnnnnS3212)211(211→−−−+=−nnnnS，所以级数收敛，其和为3。教学要求和注意点第十一章无穷级数第6页共41页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案张谋第二节正项级数讲稿内容1．正项级数的概念：给定级数∑∞=1nnu，若，则称0≥nu∑∞=1nnu为正项级数。设为正项级数部分和数列∑∞=1nnu⇒{}nS为单调增加数列⎯⎯⎯⎯⎯→⎯有界附加条件nS:⇒=∞→sSnnlim∑∞=1nnu收敛。反之若收敛∑∞=1nnu⇒⇒=∞→sSnnlim{}nS有界。从而得到正项级数收敛的基本定理。2．基本定理：正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界．∑∞=1nnu利用此充要条件，马上得到正项级数的比较审敛法。3．比较审敛法：设和∑∞=1nnu∑∞=1nnv都是正项级数，且un≤vn(n=1,2,…)．若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数∑∞=1nnv∑∞=1nnu∑∞=1nnu发散，则级数发散．(证明)∑∞=1nnv推论：设和都是正项级数，∑∞=1nnu∑∞=1nnv若存在自然数N，使当n≥N时有un≤kvn(k0)成立，则如果收敛收敛；∑∞=1nnv⇒∑∞=1nnu如果发散发散．∑∞=1nnv⇒∑∞=1nnu注：用比较审敛做题，主要将要讨论的级数适当地放大或缩小，并且放大或缩小后的级数的敛性是知道的。什么是适当：放大或缩小后，级数的敛散性不变；究竟是放大呢？还是缩小？：首先要猜测级数的敛散性，若猜所讨论的级数收敛，则放大，放大后仍收敛，由比较审敛敛法知原级数收敛；若猜所讨论的级数发散，则缩小，缩小后仍发散，由比较审敛敛法知原级数发散。三个级数的敛散性是已知的，目前已知道两个：等比级数，调和级数。（后面还有一个P-级数）。例１用比较审敛法判别下列级数的敛散性（1）∑