初中数学整式

第二讲整式一、整式的有关概念积数字因数字母指数2.同类项:所含字母_____,且相同字母指数也_____的单项式.【特别提醒】所有的常数项都是同类项.相同相同二、整式的有关运算运算性质或法则幂的运算(m,n为正整数,且mn)同底数幂相乘am·an=____同底数幂相除am÷an=____(a≠0)幂的乘方(am)n=___积的乘方(ab)n=____am+nam-namnanbn运算性质或法则整式的乘法单项式乘单项式___________________分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的_____一起作为积的一个因式单项式乘多项式m(a+b+c)=_________多项式乘多项式(a+b)(m+n)=____________平方差公式:(a+b)(a-b)=_____完全平方公式:(a±b)2=__________系数、相同字母的幂ma+mb+mcam+an+bm+bna2-b2a2±2ab+b2指数运算性质或法则整式的除法单项式除以单项式将系数、同底数幂分别_____,作为商的一个因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式先把多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商_____.相除相加考点一列代数式及求代数式的值【典例1】(1)(2016·威海中考)若x2-3y-5=0,则6y-2x2-6的值为()A.4B.-4C.16D.-16(2)(2016·内江中考)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,第n个图形有________个小圆.(用含n的代数式表示)【思路点拨】(1)代入求值.(2)根据排列规律,分中间和周围两部分求解.【自主解答】(1)选D.∵x2-3y-5=0,∴x2-3y=5.∴6y-2x2-6=-2(x2-3y)-6=-2×5-6=-16.(2)观察图形知,第1个图形中间有1×2个小圆,加上周围4个小圆,第2个图形中间有2×3个小圆,加上周围4个小圆,第3个图形中间有3×4个小圆,加上周围4个小圆,…,第n个图形中间有n(n+1)个小圆,加上周围4个小圆,即有n2+n+4个小圆.答案:n2+n+4【名师点津】整体代入法求代数式值的三种方法(1)直接整体代入求值:如果已知的代数式与要求的代数式之间都含有相同的式子,只要把已知式子的值直接代入到要求的式子中,即可得出结果.(2)把已知式子变形后再整体代入求值:如果题目中所求的代数式与已知代数式成倍数关系,各字母的项的系数对应成比例,就可以把这一部分看作一个整体,再把要求值的代数式变形后整体代入计算求值.(3)把所求式子和已知式子都变形,再整体代入求值:将已知条件和所求的代数式同时变形,使它们含有相同的式子,再将变形后的已知条件代入变形后的要求的代数式,计算得出结果.【题组过关】1.(2016·呼和浩特中考)某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是()A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-90%)(1+85%)万元C.a(1-10%)(1+15%)万元D.a(1-10%+15%)万元【解析】选C.3月份产值为a万元,则4月份产值为a(1-10%)万元,5月份产值为a(1-10%)(1+15%)万元.【知识归纳】列代数式四规范1.表示数与字母或字母与字母的积时,“×”可以用“·”代替或省略不写.2.带分数与字母相乘时,要化成假分数.3.除号用分数线表示.4.结果带单位时,若表示结果的式子是多项式,则必须用括号把多项式括起来.2.(2016·淮安中考)已知a-b=2,则代数式2a-2b-3的值是()A.1B.2C.5D.7【解析】选A.∵a-b=2,∴2a-2b-3=2(a-b)-3=2×2-3=1.3.(2016·临沂中考)用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形,则第n个图形中小正方形的个数是()A.2n+1B.n2-1C.n2+2nD.5n-2【解析】选C.∵第1个图形中,小正方形的个数是:22-1=3;第2个图形中,小正方形的个数是:32-1=8;第3个图形中,小正方形的个数是:42-1=15;…,∴第n个图形中,小正方形的个数是:(n+1)2-1=n2+2n+1-1=n2+2n.考点二整式的相关概念及整式加减【典例2】(1)(2015·厦门中考)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是()A.-2xy2B.3x2C.2xy3D.2x3(2)(2016·白银中考)如果单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项,那么nm的值是________.【思路点拨】(1)依据单项式的次数及系数进行判断.(2)根据同类项的定义列关于m,n的方程组,求出m,n的值.【自主解答】(1)选D.此题规定了单项式的系数和次数,但没规定单项式中含几个字母.A.-2xy2系数是-2,错误;B.3x2系数是3,错误;C.2xy3次数是4,错误;D.2x3符合系数是2,次数是3,正确.(2)根据题意得:则nm=3-1=.答案:m2n5,m1,n2m27n3,解得：，1313【名师点津】整式加减步骤及注意问题(1)一般步骤:先去括号,再合并同类项.(2)注意问题:去括号时要注意两个方面:①括号前有数字因数时,去掉括号,因数要乘以括号内的每一项;②括号前面是负号时,去掉括号,括号内的每一项都要改变符号.【题组过关】1.(2016·上海中考)下列单项式中,与a2b是同类项的是()A.2a2bB.a2b2C.ab2D.3ab【解析】选A.含有相同字母,并且相同字母的指数相同的单项式为同类项.2.(2015·通辽中考)下列说法中,正确的是()A.-x2的系数是B.πa2的系数是C.3ab2的系数是3aD.xy2的系数是343432322525【解析】选D.A.-x2的系数是-,故本选项错误;B.πa2的系数是π,故本选项错误;C.3ab2的系数是3,故本选项错误;D.xy2的系数是,故本选项正确.3434323225253.(2015·龙岩中考)先化简,再求值:3(2x+1)+2(3-x),其中x=-1.【解析】原式=6x+3+6-2x=4x+9,当x=-1时,原式=4×(-1)+9=5.考点三幂的运算【典例3】(1)(2016·泰安中考)下列计算正确的是()A.(a2)3=a5B.(-2a)2=-4a2C.m2·m3=m6D.a6÷a2=a4(2)(2015·大庆中考)若a2n=5,b2n=16,则(ab)n=________.【思路点拨】(1)根据幂的运算性质进行判断.(2)逆用幂的乘方,计算出an,bn的值,再根据积的乘方进行计算.【自主解答】(1)选D.A.(a2)3=a6≠a5,故错误;B.(-2a)2=4a2≠-4a2,故错误;C.m2·m3=m5≠m6,故错误;D.a6÷a2=a6-2=a4,正确.(2)∵a2n=5,b2n=16,∴(an)2=5,(bn)2=16,∴an=±,bn=±4,∴(ab)n=an·bn=±4,答案:±4555【名师点津】幂的运算的应用(1)同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若底数互为相反数时,要应用积的乘方处理好符号问题,转化成同底数,再应用法则.(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的时候要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选择法则,三是运算符号.【题组过关】1.(2016·南京中考)下列计算中,结果是a6的是()A.a2+a4B.a2·a3C.a12÷a2D.(a2)3【解析】选D.A中,不是同类项不能相加减;B中,a2·a3=a5,故错误,C中a12÷a2=a12-2=a10,故错误.D是正确的.2.(2016·青岛中考)计算a·a5-(2a3)2的结果为()A.a6-2a5B.-a6C.a6-4a5D.-3a6【解析】选D.本题考查同底数幂的乘法,积的乘方,合并同类项.a·a5-(2a3)2=a6-4a6=-3a6.3.(2015·安顺中考)计算:(-3)2013·=________.【解析】(-3)2013·答案:920111)3(－20112011211)[(3)()](3)199.33(－－－【方法指导】底数互为倒数(或负倒数)的两个幂相乘:(1)若指数相同,则直接逆用积的乘方.即am×=(±1)m.(2)若指数不相同,则先逆用同底数幂的乘法,把指数较大的幂写成两个同底数幂的积,构成(1)中的情况再进行计算.mm11()[a()]aa考点四整式乘除【考情分析】整式的乘除及乘法公式的层级为了解、理解并能应用,在各地的中考考查中均有体现,特别是乘法公式的应用是一个重要的考向,考查的方式为直接应用公式或法则计算,公式的变形应用,公式的几何背景及计算几何图形的面积等,以选择题、填空题的形式呈现,整式的化简求值多以解答题的形式考查.命题角度1:整式的乘除【典例4】(2015·福州中考)计算(x-1)(x+2)的结果是________.【思路点拨】根据多项式乘以多项式的法则计算.【自主解答】(x-1)(x+2)=x2+2x-x-2=x2+x-2.答案:x2+x-2命题角度2:乘法公式的应用【典例5】(2015·邵阳中考)已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为()A.3B.4C.5D.6【思路点拨】应用完全平方公式,找到a2+b2与(a+b)2及ab之间的关系,代入数值整体求值.【自主解答】选C.a2+b2=(a+b)2-2ab=9-4=5.【母题变式】(改变问法)本题条件不变,求a-b的值.提示:利用(a-b)2=(a+b)2-4ab,整体代入求值,然后再开方.得a-b=±1.命题角度3:化简求值【典例6】(2015·随州中考)先化简,再求值:(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷(-a2b)2,其中ab=-.12【思路点拨】化简后整体代入求值.【自主解答】原式=4-a2+a2-5ab+3ab=4-2ab,当ab=-时,原式=4+1=5.12【母题变式】(变换条件)其中a,b的值是关于x的一元二次方程2x2-mx-1=0的两个根.提示:根据根与系数的关系得到ab=-.化简后整体代入求值得5.12【名师点津】整式的乘法运算中的四点注意(1)单项式乘多项式就是运用乘法分配律将其转化成单项式乘单项式,再把所得的积相加.(2)在运算时,要注意每一项的符号.(3)单项式乘多项式,积的项数与多项式的项数一样.(4)不要漏乘多项式中的项,特别是多项式中含有+1或-1的项.【题组过关】1.(2016·威海中考)下列运算正确的是()A.x3+x2=x5B.a3·a4=a12C.(-x3)2÷x5=1D.(-xy)3·(-xy)-2=-xy【解析】选D.x3与x2不能合并,故A错误.a3·a4=a3+4=a7,故B错误.(-x3)2÷x5=x6÷x5=x,故C错误.(-xy)3·(-xy)-2=(-xy)3-2=(-xy)1=-xy.故D正确.2.(2015·淄博中考)已知则x2+xy+y2的值为()A.2B.4C.5D.7【解题指南】把x2+xy+y2表示成(x+y)2-xy,代入求值.5151xy22，，【解析】选B.原式=(x+y)2-xy==5-1=4.225151515151()(5)22224【知识拓展】完全平方公式的常见变形(1)a2+b2=(a+b)2-2ab.(2)a2+b2=(a-b)2+2ab.(3)(a+b)2=(a-b)2+4ab.(4)(a-b)2=(a+b)2-4ab.3.(2015·广元中考)下列运算正确的是()A.(-ab2)3÷(ab2)2=-ab2B.3a+2a=5a2C.(2a+b)(2a-b)=2a2-b2D.(2a+b)2=4a2+b2【解析】选A.A.(-ab2)3÷(ab2)2=-a3-2b6-4=-ab2,故本选项正确;B.3a+2a=(3+2)a=5a,故本选项错误;C.(2a+b)(2a-b)=4a2-b2,故本选项错误;D.(2a+b)