初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。ABA′Pl例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。例4、如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D（1）求a，b及sinACP的值（2）设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=34,抛物线2yaxbx经过点A(4,0)与点（-2,6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）解：（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．（9分）理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）例2、解：（1）设所求抛物线的解析式为：2(1)4yax，依题意，将点B（3，0）代入，得：2(31)40a解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：2(1)4yx（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线2(1)4yx，得2(21)43y∴点E坐标为（2，3）又∵抛物线2(1)4yx图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D∴当y＝0时，2(1)40x，∴x＝－1或x＝3当x＝0时，y＝－1＋4＝3,∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：023kbkb解得：11kb过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1∴当x＝0时，y＝1∴点F坐标为（0，1）∴DF=2………………………………………③又∵点F与点I关于x轴对称，∴点I坐标为（0，－1）∴22222425EIDEDI………④又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：111(0)ykxbk，分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入11ykxb，得：111231kbb解得：1121kb过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝12；∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（12，0）∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI由③和④，可知：DF＋EI＝225∴四边形DFHG的周长最小为225。（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使NMMDMDBD即可，即：2MDNMBD………………………………⑤设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得△AMN∽△ABD，∴NMAMBDAB再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32，AB＝4∴(1)3232(1)44AMBDaMNaAB∵22229MDODOMa，∴⑤式可写成：2329(1)324aa解得：32a或3a（不合题意，舍去）∴点M的坐标为（32，0）又∵点T在抛物线2(1)4yx图像上，∴当x＝32时，y＝152∴点T的坐标为（32，152）.例3、解：（1）∵点F在AD上，∴AF2=a2＋a2，即AF=2a。∴DFb2a。∴2DBF1113SDFABb2abbab2222（）。（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，∴四边形AFDB是梯形。∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，∴2DBFABD1SSb2。（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，∵△BFD的边BD=2b，∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值。如图，当DF⊥BD时，S△BFD的最大值=212b2ab2b(b2a)222，S△BFD的最小值=212b2ab2b(b2a)222。第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，S△BFD的最大值=2b2ab2。例4、解：（1）由1x+1=02，得到x=－2，∴A（－2，0）。由1x+1=32，得到x=4，∴B（4，3）。∵2y=ax+bx3经过A、B两点，∴4a2b3=016a+4b3=3，解得1a=21b=2。设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。∴根据勾股定理，得AE=5。∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。∴OA225sinACP=sinAEO=AE55。（2）①由（1）可知抛物线的解析式为211y=xx322。由点P的横坐标为m，得P211mmm322，，C1mm+12，。∴PC=221111m+1mm3m+m+42222。在Rt△PCD中，22125595PDPCsinACP=m+m+4=m1+2555，∵505，∴当m=1时，PD有最大值955。②存在满足条件的m值，532m=29或。例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入2=+yaxbx中，得方程组16+4=04-2=6abab，解之，得1=2=-2ab.∴抛物线的解析式为21=-22yxx.（2）连接AC交OB于E.∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m，∵弦AB=AO，∴ABAO.∴AC⊥OB，∴m∥OB.∴∠OAD=∠AOB，∵OA=4tan∠AOB=43，∴OD=OA·tan∠OAD=4×43=3.作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×53=2.4.t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP=t.DF=DQ－FQ=t.⊿ODF中，t=DF=22OFOD=1.8秒.（3）令R(x,21x2－2x)(0＜x＜4).作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x，OG=21x2+2x.Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB，∴tan∠GIR=43.∴IG=34xIR=35x,Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=34x－（21x2+2x）=21x2－32x.HI=54（21x2－32x）.于是RH=IR－IH=35x－54（21x2－32x）=－52x2+1533x=－52x2+511x=－52(x－411)2+40121当x=411时，RH最大.S⊿ROB最大.这时21x2－2x=21×(411)2－2×411=－3255.∴点R(411,－3255)