《数学分析》-第十二章-数项级数-3

§3一般项级数一、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu111)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.)0(nu其中证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu,2是单调增加的数列ns,2是有界的数列ns)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和),(21nnnuur余项,21nnnuur满足收敛的两个条件,.1nnur定理证毕.例5判别级数21)1(nnnn的收敛性.解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0x,1单调递减故函数xx,1nnuu1limlimnnunnn又.0原级数收敛.二、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.证明),,2,1()(21nuuvnnn令,0nv显然,nnuv且,1收敛nnv),2(11nnnnnuvu又1nnu收敛.上定理的作用：任意项级数正项级数定义:若1nnu收敛,则称1nnu为绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.例6判别级数12sinnnn的收敛性.解,1sin22nnn,112收敛而nn,sin12nnn收敛故由定理知原级数绝对收敛.四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun一、别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?1、1113)1(nnnn；2、5ln14ln13ln12ln1；3、2ln)1(nnnn.二、若nnun2lim存在,证明:级数1nnu收敛.三、证明:0!lim3nnnanb.