《数学分析》第十五章-傅立叶级数-3

第十五章傅立叶级数§3以2L为周期的傅氏级数一、以2L为周期的傅氏级数,2lT.2lT定理式为则它的傅里叶级数展开定理的条件满足收敛的周期函数设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn)sincos(210xnbxnaannn代入傅氏级数中为其中系数nnba,),2,1,0(,cos)(1ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1ndxlxnxflblln,)()1(为奇函数如果xf则有,sin)(1nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn为其中系数),2,1(n,)()2(为偶函数如果xf则有,cos2)(10nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn0cos)(2为其中系数),2,1,0(n证明,lxz令lxl,z),()()(zFlzfxf设.2)(为周期以zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn)sincos(2)(10xlnbxlnaaxfnnn.sin)(1,cos)(1nzdzzFbnzdzzFann其中.sin)(1,cos)(1llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中)()(xfzFlxz二、典型例题k2xy2044例1设)(xf是周期为4的周期函数,它在)2,2[上的表达式为20020)(xkxxf,将其展成傅氏级数.解.,2满足狄氏充分条件l2002021021kdxdxa,k202cos21xdxnk,0202sin21xdxnkbn)cos1(nnk,,6,4,20,5,3,12nnnk当当)25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf),4,2,0;(xxna),2,1(n例2将函数15510)(xxxf展开成傅氏级数.解,10xz作变量代换155x,55z)10()(zfxf),(zFz,)55()(的定义补充函数zzzF,5)5(F令)10()(TzF作周期延拓然后将,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足).()5,5(zF内收敛于且展开式在x)(zFy5501510),2,1,0(,0nan502sin)(52dzznzbn,10)1(nn),2,1(n,5sin)1(10)(1nnznnzF)55(z1)]10(5sin[)1(1010nnxnnx.5sin)1(101nnxnn)155(x另解1555cos)10(51dxxnxan1555sin)10(51dxxnxbn1551555cos515cos2dxxnxdxxn,01550)10(51dxxa,0,10)1(nn),2,1(n15sin)1(1010)(nnxnnxxf故)155(x),2,1(n三、小结利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);2.求出傅氏系数;3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于).(xf以2l为周期的傅氏系数;一、设周期为2的周期函数)(xf在一个周期内的表达式为121,1210,101,)(xxxxxf,试将其展开成傅里叶级数.二、试将函数lxlxllxxxf2,20,)(展开成正弦级数和余弦级数.练习题三、将函数232,22,)(xxxxxf展开成傅里叶级数.练习题答案一、4)(xf122sin2cos21cos]2sin2)1(1[nnxnnnxnnnn),2,1,0,212,2(kkxkx.二、)0(sin2sin14)(122lxlxnnnlxfn；lxnnnllxfnncos])1(12cos2[124)(122)0(lx.三、12)]2)(12cos[()12(14)(nxnnxf)0(lx.