行波法-3-2(E)

数学物理方法行波法与积分变换法MovingVaveMethodandIntegral-TrnsformMethod第三章§3.2.1解三维波动方程的球对称引进球坐标系.cos.20,0,sinsin,cossinrzryrxr),,(M),,(zyxMMrSxyzo都无关，那、与有球对称，即来表示，且所在的场具u),,(),,(ruuzyxuu用空间球坐标，如果将波函数么波动方程被表示为)(222222222zuyuxuatu02uautt考虑三维波动方程2222222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrratu为时，这个方程又被简化、不依赖于当u)(122222rurrratu球面上的面积元ddrdSsin2球立体角元ddrdSdsin2球的体积元dddrrdSdrdVsin2方程球坐标系下的一维波动)2(2222222rurrurratu或)2(22222rururatur两边同乘以)(122222rurrratu222222)()2(rruarurrua上式右边：2222)(trutur上式左边：所以，最后得到方程2222222222)()()(rruatrururrratu经过这样一捣鼓解为的一维波动方程！其通这是一个关于)(ru)()(21atrfatrfru0)()(22222trurrua上式可变型为0)()(222drdta对应的特征方程为ratrfatrftru)()(),(21或22222)()(rruatru0)()(222dtadr习惯写法定的初始条件来确定。函数，它们可以通过给是两个二阶连续可微的、其中，21ff便了许多。公式导出相比，显然方注意：与一维达朗贝尔)2(22222rurruatur于是得到MrMrVrMV对上面中的方程两边在为半径的球域以为中心表示以用.,并且利用高斯公式，得上积分,dVuVadVuVxxttMrMr2dVzzzyuyxuxVaMr)()()(2dSznzuynyuxnxuSaMr),cos(),cos(),cos(2ddrdrdSsin22ddrdSdsin2dSnuSaMr2drruSaMr22rura224（这是右边的结果）dtMudStMurtruMrMrSS),(41),(41),(2附录)(222222222zuyuxuatu02uautt高斯公式与波动方程)(无关与rdduSrraMr22为什么跑不出去？u!!!),,,(tzyxuu？为什么这里runu可以跑出去？为什么2r三维无界波动方程（三维交变电磁场方程）.Poisson公式对一维波动方程初值问题，利用D’Alembert法导出了它的解的公式，我们现在利用D’Alembert解法，来推导三维波动方程初值问题的解。D’Alembert法的核心，就是先求方程的通解，再由初始条件确定定解问题的解，如何求出三维波动方程的通解呢？考虑定义于三维波动方程的初值问题：)0,,,(tzyx§3.2.2)12.3()(222222222zuyuxuatu),,(0zyxtut)22.3(),,(0zyxut程坐标系，解一维波动方比较困难。受，引入球接求解不是球对称函数时，直当uu，则值为半径的球面上的平均为球心、，在以考虑这个特例的启示，如果urzyxMu),,(，均值固定）。若求得这个平有关（点和时间，只与矢径这个平均值),(),,(truzyxMtru.),,(),(0的值点和时刻在的极限，就是，则这个平均值趋于再令半径tzyxMutrurr),,(M),,(zyxMMrSxyzo),()1tru引入球面平均值函数为半径的球面为中心，在以，它是现在引入一个函数rMtMutru),(),(上的平均值。MrSdtMudStMurtruMrMrSS),(41),(41),(2)32.3(球面上的面积元ddrdSsin2球立体角元ddrdSdsin2是它们的函数；是两个独立变量，和时间显然：球半径),(trutr则是一个参变量；M的自变量个数少，的自变量个数，比起),,,(),(tutru。所以研究起来比较方便和我们所求的出，另外一方面：很容易看),(tru，取有很密切的联系：如果0),(rtMu).,(tMuSMr上的平均值，也就是那么在).,(),0(tMutu即)42.3(。出因此，以下我们将先求),(tru。方便得多了）（这比求解),(tMur),,(M),,(zyxMMrSxyzo的通解求出),()2tru满足一维波动方程：将证明基于前面的考虑，以下)(ur22222),(),(rtrurattrur出这点，上也果真如此。为了看描写一种球面波，事实首先可以预料),(tru)52.3(02dVuVadVuVxxttMrMr中积分所围的球体）在只需将（MrMrVS3.21左端第一项又）（3.25dtutddutrSrMr20222022),(4左端第二项又）（3.25dSnuaMrS2drnuaMrS22),(422trurra），得到将上述两个结果代入（3.25详见附录推证为何跑得如此利索？！22t球面上的面积元ddrdSsin2球立体角元ddrdSdsin2球的体积元dddrrdrdSdVsin2.cos.20,0,sinsin,cossinrzryrx球的体积元dddrrdSdrdVsin2球的体积元ddrr2r),,(M),,(zyxMMrSxyzo)52.3(02dVuVadVuVxxttMrMrdtutr2022),(40),(422trurra）亦即所以（3.25求导，得上式对r222),(rtrut0),(22trurrra，得除以2r),(22trut0),(1222trurrrra)62.3(）很容易验证（两边动作2222)(1),(1rurrtrurrrr收缩进去，得到，第一项将），两边同乘以上面之结果代入（rr3.26),(22trurt0),(222trurra)72.3(果然是球面波。与弦振动方程相同，所满足的偏微分方程。这就是),(),(trutrur变上限积分且对上限求导规则),(22trurt0),(222trurra)72.3(它的通解为所满足的偏微分方程。这就是),(trur)()(),(tarGtarFtrur)28.3(—泊松公式。—，定解、依据初始条件确定GF)3分别求导，得）式两边对（r3.28)()(),()(tarGtarFrurtruurr)29.3(，得上式中令0r分别求导，得）式两边对（t3.28，得上式中令0r)()(),0(taGtaFtu)30.3(）式，得上式的结果代入（3.30)()(tarGatarFatur)31.3()()(taGtaF)32.3()(2),0(taFtu)33.3()()(),()(tarGtarFrurtruurr)29.3()()(tarGatarFatur)31.3(，得）式相加，并令）与（更进一步地，将（03.343.29t，得）式两边同除以（a3.31)()(tarGtarFtuar)34.3(00)(2)(tttarFtuartur即为）：，得到了（：令考虑到先前有一个动作3.330r),0(),(lim),(0tutrutMur)63.3(0)()(2ttuarturrF)35.3()(2),0(taFtu，正是另一方面，令0r即为）：，得到了（：令考虑到先前有一个动作3.330r),0(),(lim),(0tutrutMur)63.3(0)()(2ttuarturrF)35.3()(2),0(taFtu，正是另一方面，令0r由此可见：0)()(2),0(),(ttuarturrFtutMu)73.3(和我们所求的出，另外一方面，很容易看),(tru，取有很密切的联系：如果0),(rtMu).,(tMuSMr上的平均值，也就是那么在).,(),0(tMutu即)42.3().,,((0zyxMMr）收缩到点，，时，球面上点即，当r),,(M),,(zyxMMrSxyzo)41()41(),,,(0202MrtSMrtSdSturardSurrrtzyxuMrMrdtudSturtruMrMrSS),,,(41),,,(41),(2)),,(41),,(41MrSMrSdStaadStataMrMr间的关系式将距离等于速度乘以时tartar10)()(2),0(),(ttuarturrFtutMu)73.3(义式将球面平均值函数的定tar）式，即得结果：一并代入（3.37dtudSturtruMrMrSS),,,(41),,,(41),(2MrSMrSdStaadStatatMuMrMr),,(41),,(41),(三维波动方程初值问题的泊松公式上的值所决定。在球面、，转化为由初值函数的值、时刻在点MrStMutMu),(中的坐标转换到球坐标系，计算时，一定要将ddrdrdSsin22.20,0,cos,sinsin,cossinrzryrxr),,(M),,(zyxMMrSxyzo二维波动方程初值问题的泊松公式为二重积分形式：无关时，泊松公式可化与和当zzyxzyx),,(),,(222222)()()(),()()()(),(21),,(),(yxatddyxatddtatyxutMuMtaMtaCC式。方程初值问题的泊松公此公式被称为二维波动为圆盘内的点。为半径的圆盘为中心，以是以其中,.taMCMtaxyz00tMtaS0),,(M),,(zyxM)0,,,(tzyx)12.3()(222222222zuyuxuatu),,(0zyxtut)22.3(),,(0zyxutrdtudSturtruMrMrSS),,,(41),,,(41),(2),,,(tztxuu原本要求这样的问题),(),,,(trurtzyxuu被转换为借