1.3.1-第1课时-函数的单调性

第1课时函数的单调性第一章1.3.1单调性与最大(小)值学习目标1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一函数的单调性画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？答案答案两函数的图象如下：函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.梳理增函数减函数思考知识点二函数的单调区间我们已经知道f(x)＝x2的减区间为(－∞，0]，f(x)＝的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？答案1x答案f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝的定义域.1x1x梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.题型探究例1如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解答类型一求单调区间并判断单调性解y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.反思与感悟跟踪训练1写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性.解答解先画出f(x)＝x2－2x－3，x－1或x3，－x2－2x－3，－1≤x≤3的图象，如图.所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞).命题角度1证明具体函数的单调性例2证明f(x)＝在其定义域上是增函数.类型二证明单调性x证明证明f(x)＝x的定义域为[0，＋∞).设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＝x1－x2x1＋x2x1＋x2＝x1－x2x1＋x2.∵0≤x1x2，∴x1－x20，x1＋x20，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)＝x在它的定义域[0，＋∞)上是增函数.运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结.反思与感悟证明设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－(x2＋1x2)＝(x1－x2)＋(1x1－1x2)＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)(1－1x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1x1x2).∴x1x2－1x1x20，故(x1－x2)(x1x2－1x1x2)0，∵1≤x1x2，∴x1－x20,1x1x2，∴f(x)＝x＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数.即f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2).跟踪训练2求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.1x证明命题角度2证明抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x0时，f(x)1.求证：函数f(x)在R上是增函数.证明因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.反思与感悟跟踪训练3已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1.求证：f(x)在R上是减函数.证明解析要使f(x)在R上是减函数，需满足：3a－10，－a0，3a－1·1＋4a≥－a·1.命题角度1利用单调性求参数范围类型三单调性的应用例4若函数f(x)＝3a－1x＋4a，x1，－ax，x≥1是定义在R上的减函数，则a的取值范围为A.[18，13)B.(0，13)C.[18，＋∞)D.(－∞，18]∪[13，＋∞)答案解析解得18≤a＜13.分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.反思与感悟跟踪训练4已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为____________.解析由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a]，即a≤1或a≥2.答案解析a≤1或a≥2命题角度2用单调性解不等式例5已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)f(2a－1)，求a的取值范围.解答解f(1－a)f(2a－1)等价于－11－a1，－12a－11，1－a2a－1，解得0a23，即所求a的取值范围是0a23.若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.反思与感悟跟踪训练5在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)f(2a－1)，则a的取值范围又是什么？解答解∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)f(2a－1)，∴1－a2a－1，即a23，∴所求a的取值范围是(23，＋∞).当堂训练A.[－2,0]B.[0,1]C.[－2,1]D.[－1,1]1.函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是√答案234512.函数y＝的减区间是A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案√234516x3.在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是A.f(x)＝x2B.f(x)＝C.f(x)＝|x|D.f(x)＝2x＋1答案√234511x4.已知函数y＝f(x)满足：f(－2)f(－1)，f(－1)f(0)，则下列结论正确的是A.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增B.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减C.函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)D.以上的三个结论都不正确答案√234515.若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)f(1)，则x的取值范围是A.x1B.x－1C.－1x1D.x－1或x1√答案23451规律与方法1.若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.2.对增函数的判断，对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或fx1－fx2x1－x20.对减函数的判断，对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或fx1－fx2x1－x20.3.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.1fxfx1fx2本课结束