函数与方程复习课件公开课

方程的根与函数的零点复习课主讲人：彭凡学习目标1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点.2.利用函数的图象及性质判断函数的零点，及利用它们求参数的取值范围问题是重点，也是难点.3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交汇命题.教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使___________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有______．f(x)＝0x轴零点问题1.是否任意函数都有零点？提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是f(x)＝0的根．问题2.在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．f(a)·f(b)0f(c)＝02.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点______，________(x1，0)或(x2，0)无交点零点个数两个一个零个(x1，0)(x2，0)1.函数f(x)＝x3－x的零点是________．答案：－1，0，12.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c＜0，则其零点个数是________．答案：2课前热身3.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12解析：选C.∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，所以零点为0和－12.考点探究讲练互动例1例1.设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．0考点探究讲练互动例1变式.设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)【解析】∵f(x)＝ex＋x－4，∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0，故选C.【答案】C【规律小结】判定函数零点个数的几种方法：(1)直接做出函数图象，看它和x轴有几个交点就有几个零点。(2)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点(4)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；变式训练1.已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2，0C.12D．0解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0，故选D.变式训练：设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(3，4)B．(2，3)C．(1，2)D．(0，1)解析：选C.令g(x)＝x3－22－x，可求g(0)＜0，g(1)＜0，g(2)＞0，g(3)＞0，g(4)＞0,易知函数g(x)的零点所在区间为(1，2)．课堂小结思考题:是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＞0，∴若实数a满足条件．则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－15.此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a－15或a1.变式训练解：记12axxxf-112xyO【规律小结】已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．