函数的单调性案例分析

案例分析南京市金陵中学凌惠明函数的单调性《函数的单调性》是苏教版高中数学必修一第二章第2.1.3节的内容，共2课时，我讲的是第一课时中一些教学内容的处理方法．在一杯温水中，加入适量的糖，随着糖的不断加入，杯中的糖水就越来越甜．问题1：在这一现象中，有定量也有变量，哪些是定量，哪些是变量？问题2：这两个变量之间存在函数关系吗？情境的创设通过对学生所举的具体函数的图象的观察，帮助学生总结从形的角度研究函数单调性的方法，让学生认识到研究函数单调性的必要性．yxOy＝xyxOy＝－xyxOy＝x2观察某城市一天24小时气温变化图．θ＝f(t)，t∈[0，24]问题3：如何描述气温θ随时间t的变化情况？此环节学生凭借初中时对函数的了解，很容易完成用“形”刻画函数单调性问题，用气温变化函数图象不仅是为了巩固总结的规律，更是通过这个具体的情境理解函数的单调性是函数的局部性质．“沿着x轴的正方向图象是上升的，函数是单调增的；沿着x轴的正方向图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x的增大，y也增大”(单调增)这一特征用该区间上“任意的x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)”(单调增)进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1，x2．(t1,θ1)(t2,θ2)t1t2问题4：在区间[4，14]上，如何用数学符号语言来刻画“θ随t的增大而增大”这一特征？如图，研究函数θ＝f(t)，t∈[0，24]的图象在区间[4，14]上的变化情况．在[4，14]上，取几个不同的输入值，例如t1＝5，t2＝6，t3＝8，t4＝10，得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ随t的增大而增大．tθO取区间内n个输入值t1，t2，t3，…，tn，得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，…，θn，在t1＜t2＜t3＜…＜tn时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．在[4，14]上任取两个值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．此环节是本节课的重点，为了形成函数单调性的严格定义，从一个具体的例子入手，给学生铺设一个讨论交流的平台，促使学生自己经历数学概念的形成过程，从而加深对函数单调性定义的理解．问题5：设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA,在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？在[4，14]上内任取两个值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.问题6：如何定义单调减函数和单调减区间呢？函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，区间I称为函数y=f(x)的单调减区间.1.函数y＝f(x)，x∈[0，3]的图象如图所示．Oxy123区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？概念辨析2.对于二次函数f(x)＝x2，因为－1，2∈(－∞，＋∞)，当－1＜2时，f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)＝x2在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数．3.已知函数y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)，若对于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，则函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数．yxOx2f(x2)本节课从“形”和“数”两个方面认识了函数的单调性，利用数学符号语言刻画函数的单调性，从感性认识上升到理性认识，同时也体现了数学符号语言在描述问题时简约化的特点．函数的奇偶性函数的奇偶性最大的特征就是和图象结合教学的主导思想定为自主探究、数形结合、教给学生方法问题情境感受生活中的对称之美用对称的观点看函数图象xyOxyO1xO1yyxO(1)(2)(3)(4)xyOyxO(5)、(6)则是(1)、(2)被污渍覆盖了一部分后的情形，你有什么办法将被覆盖的部分准确还原吗？根据函数图像的对称性，对于图象(5)，只要在图象(1)中将y轴左侧的点关于y轴作对称变换，便可将图象还原；同理对于图象(6)，只要在图象(2)中将第一象限内的点关于原点做对称变换，便可将图象还原．此情景目的在于引导学生自主发现函数图象的对称性并用对称性解决问题．(2)(1)yxO(6)xyO(5)屏幕显示函数y＝x3，x＜0，x4，x≥0的图象，但不显示函数的解析式，让学生观察以后判断此函数图象的对称性．yxOMM'此情景目的在于引导学生自主发现，仅凭观察判断函数图象的对称性是不可靠的，从而引发学生探求问题本质的动机．探索如何用数学语言表述函数图象关于原点对称．若函数图象上任意一点关于原点的对称点仍在此函数的图象上时，该图象便关于原点对称．不妨设函数y＝f(x)，M(x，y)为其图象上任一点，则M关于原点的对称点M'的坐标为(－x，－y)，因为点M在函数图象上，所以y＝f(x)成立；若点M'也在函数图象上，则应有－y＝f(－x)成立，而对任一函数而言，当y＝f(x)时，未必有－y＝f(－x)，只有f(x)＝－f(－x)时，两式才同时成立．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说f(x)具有奇偶性．本节课在教学实施的过程中还是遇到了一定的实际困难，有的同学对奇、偶函数的定义感到比较抽象，难于理解；有的同学对奇、偶函数的证明思路不够明确．我认为这节课如果结合多媒体教学，让学生结合多个函数的图象观察奇、偶函数的图象的对称性效果会更好些。用二分法求方程的近似解引导学生去探究发现“逼近”这个重要的数学思想．引导学生去探索缩小区间的“方法”．逼近思想应该让学生去探索．前一节课已经研究了函数零点的概念，研究了函数零点附近两侧的函数值异号的特性，这两者就构成了思考这节课问题的基础，就能成为这节课要学习的知识的生长点．因而，这节课的教学就应该建立在这个生长点上．证明：方程lnx＝3－x在区间(2，3)上有解．上节课我们一起研究了与函数零点有关的问题，同学们你们觉得这节课应该研究什么问题？求lnx＝3－x的解．求方程x2－2x－1＝0的实数根．求函数f(x)＝x2－2x－1的零点．在区间(2，3)上f(x)有惟一的零点，则方程x2－2x－1＝0在区间(2，3)上有惟一的实数根，能不能不用已有的公式，来寻找一个求近似解的方法呢？猜商品的价格求方程的解的问题可以转化为求函数的零点的问题.零点一定在函数值异号的两个自变量的值之间，它就是方程的解．再根据精确度的要求，逐步缩小区间就行了．方程解的问题找函数零点的问题怎样逼近缩小区间怎样缩小区间用二分法来缩小感谢各位专家和同行！