等比数列(2)

第6章数列（教案）【课题】6．3等比数列【教学目标】知识目标：理解等比数列前n项和公式．能力目标：（1）应用等比数列的前n项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能；（2）综合应用数列知识，解决生活中借、贷款等实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．情感目标：（1）经历数列的前n项和公式的探索，增强学生的创新思维．（2）赞赏国际象棋的发明人数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化．（3）经历借、贷款问题的计算过程，体会数学的应用价值，形成对数学的兴趣。【教学重点】等比数列的前n项和的公式．【教学难点】等比数列前n项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的前n项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前n项和公式；难点是前n项和公式的推导、求等比数列的项数n的问题及知识的简单实际应用．等比数列前n项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量：nnSanqa、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.教材中例6是已知nnSaa、、1求nq、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n的方法是研究等比数列问题的常用方法.【教学备品】教学课件．【课时安排】3课时．(135分钟)【教学过程】第6章数列（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题6．3等比数列．*创设情境兴趣导入【趣味数学问题】传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．质疑引导分析思考参与分析从趣味小故事出发使得学生自然的走向知识点10*动脑思考探索新知下面来研究求等比数列前n项和的方法．等比数列na的前n项和为.321nnaaaaS(1)由于1,nnaqa故将(1)式的两边同时乘以q，得2341nnnqSaaaaa．(2)总结归纳仔细思考归纳带领学生总结问题得到第6章数列（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得1111111nnnnqSaaaaqaq．(3)当1q时，由(3)式得等到数列na的前n项和公式1111nnaqSqq()()．(6.7)知道了等比数列na中的1a、n和),1(qq，利用公式（6.7）可以直接计算nS．由于,11qaaqannn因此公式（6.7）还可以写成111nnaaqSqq()．(6.8)当1q时，等比数列的各项都相等，此时它的前n项和为1naSn．(6.9)【想一想】在等比数列{}na中，知道了1a、q、n、na、nS五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？【注意】在求等比数列的前n项和时，一定要判断公比q是否为１．分析讲解关键词语引导分析理解记忆参与分析等比数列通项公式引导启发学生思考求解35*巩固知识典型例题例5写出等比数列,27,9,3,1说明强调观察第6章数列（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间的前n项和公式并求出数列的前8项的和．解因为313,11qa，所以等比数列的前n项和公式为1[1(3)]1(3)1(3)4nnnS，故881(3)16404S．*例6一个等比数列的首项为49，末项为94，各项的和为36211，求数列的公比并判断数列是由几项组成．解设该数列由n项组成，其公比为q，则194a，49na，21136nS．于是9421149361qq,即qq944936)1(211，解得23q．所以数列的通项公式为192,43nna于是1492943n，即,323241n解得5n．引领讲解说明引领分析强调含义思考主动求解观察思考求解领会通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点45第6章数列（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间故数列的公比为23，该数列共有5项．【注意】例6中求项数n时，将等号两边化成同底数幂的形式，利用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法．现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？国王承诺奖赏的麦粒数为646419641(12)211.841012S，据测量，一般麦子的千粒重约为40g，则这些麦子的总质量约为7.36×1710g，约合7360多亿吨．这是大的让人无法想象的数．若把这些麦粒排成4m高、10m宽的麦墙，它将有3×108km长，这是地球到太阳距离的80倍．，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！说明思考反复强调50*运用知识强化练习练习6.3.31．求等比数列91，92，94，98，…的前10项的和．2．已知等比数列｛na｝的公比为2，4S＝１，求8S．3.已知等比数列na的公比为13，4203S，求1a．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60*巩固知识典型例题【趣味问题】设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？【小知识】说明强调引领观察思考通过例题进一步领会第6章数列（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”．例7银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行货款20万元，贷款期限为5年,年利率为5.76%．（1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）；（2）如果每年一期，分5期等额还款（每期以相等的额度平均偿还本息），那么小王每年偿还银行多少钱．解（1）货款第一年后的本利和为20205.76%20(10.0576)1.057620,第二年后的本利和为21.0576201.0576205.76%1.057620,依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列231.057620,1.057620,1.057620,…其通项公式为11.0576201.05761.004520nnna故5年后一次性还款小王应还款数为551.05762026.482886a（万元）．（2）设小王每次应偿还银行a万元，则第1次还款a万元，已还款数为a（万元）；第2次还款a万元，已还款数为(15.76%)aa（万元）；第3次还款a万元，已还款数为2(15.76%)(15.76%)aaa（万元）；讲解说明引领分析强调含义说明主动求解观察思考求解领会思考求解注意观察学生是否理解知识点反复强调4550第6章数列（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间第4次还款a万元，已还款数为23(15.76%)(15.76%)(15.76%)aaaa（万元）第5次还款a万元，已还款数为234(15.76%)(15.76%)(15.76%)(15.76%)aaaaa55(1(15.76%))((15.76%)1)1(15.76%)5.76%aa（万元）．由于第5次将款还清，所以5((15.76%)1)26.4828865.76%a．因此526.4828865.76%4.716971(15.76%)1a（万元）．这类问题为等额分期付款模型．计算每期偿还本息的公式为(1)(1)1nnAiiai，其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率．可以看到，本例中一次性付款数为26.482886万元，而采用分5期付款的方式总共付款数为4.716971×5=23.5849（万元），分期付款比到期一次性付款节省了近2万9千元。想一想如果小王每月为一期的还款方式，那么每月需要还款多少？*运用知识强化练习张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱?若按照每月为一期等额还款，每月需要还银行多少钱．质疑求解强化60*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：等比数列的前n项和公式是什么？质疑回答及时第6章数列（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间结论：（1）).1(1)1(1qqqaSnn（2）).1(11qqqaaSnn归纳强调理解强化了解学生知识掌握情况70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1．已知等比数列｛na｝中，13226aS，，求3qa与．2．等比数列｛na｝的首项是6，第6项是316，这个数列的前多少项之和是25564？提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果培养学生总结反思学习过程的能力80*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做）(3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；第6章数列（教案）学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；−