导数求函数的最值应用题.

1.4生活中的优化问题举例能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．1．解决实际应用问题的基本步骤一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：(1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．(2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型．(3)运用数学知识和方法解决上述问题．(4)检验结果的实际意义并给出答案．2．求最优化问题的步骤求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由和确定，当定义域是且函数只有一个时，这个也就是它的．2．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．通过前面的学习，我们知道是求函数最大(小)值的有力工具，运用可以解决一些生活中的．极值端点的函数值开区间极值极值最值优化问题导数导数优化问题[例1]在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[分析]根据所给几何体的体积公式建模．[解析]设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)＝(60－2x)2·x(0x30)＝4x3－240x2＋3600x.∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)当0x10时，V′(x)0，当10x30时，V′(x)0.∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．[点评]在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，又r＝S6π，∴h＝2S6π＝6πS3π.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6πS3π.∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr22πr，又圆柱的体积V＝πr2h＝rS－2πr32，V′＝S－6πr22，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，[例2]有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[分析]根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．[解析]解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则∵BD＝40，AC＝50－x，令y′＝0，解得x＝30.当0x30时，y′0；当30x50时，y′0.∴BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0x50)．y′＝－3a＋5axx2＋402，因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．解法2：设∠BCD＝θ，则BC＝40sinθ，CD＝40·cotθ0θπ2.∴AC＝50－40·cotθ.设总的水管费用为f(θ)，依题意，有f(θ)＝3a(50－40·cotθ)＋5a·40sinθ＝150a＋40a·5－3cosθsinθ∴f′(θ)＝40a·(5－3cosθ)′·sinθ－(5－3cosθ)·(sinθ)′sin2θ＝40a·3－5cosθsin2θ.令f′(θ)＝0，得cosθ＝35.根据问题的实际意义，当cosθ＝35时，函数取得最小值，此时sinθ＝45，∴cotθ＝34，∴AC＝50－40cotθ＝20(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．[点评]解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？[解析]设圆柱体的高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．由于V＝πr2h，得h＝Vπr2，所以y＝4mπr2＋2mVr(r0)．所以y′＝8mπr－2mVr2，令y′＝0，得r＝，此时，h＝Vπr2＝4.当r∈时，y′0，当r∈时，y′0，因此r＝是函数y＝4mπr2＋2mVr(r0)的极小值点，也是最小值点．故当r＝时，y有最小值，即h∶r＝4∶1时，总造价最小．答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小.[分析]根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．[例3]某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．[解析]每月生产x吨时的利润为f(x)＝(24200－15x2)x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－35x2＋24000＝0解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[点评]建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3百万元时，每投入x百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数y1＝－2x2＋14x(百万元)来计算；每投入x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y2＝－13x3＋2x2＋5x(百万元)来计算．现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)[解析]设3百万元中技术改造投入为x百万元，广告费投入为(3－x)百万元，则广告投入带来的销售额增加值为y1＝－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为y2＝－13x3＋2x2＋5x(百万元)，所以，投入带来的销售额增加值为F(x)＝－2(3－x)2＋14(3－x)－13x3＋2x2＋5x.(0≤x≤3)由于投入为常量，采取措施前的收益、投入也是常量．所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时候．整理上式得F(x)＝－13x3＋3x＋24，因为F′(x)＝－x2＋3，令F′(x)＝0，解得x＝3或x＝－3(舍去)，当x∈[0，3)，F′(x)0，当x∈(3，3]时，F′(x)0，又因为F(0)＝24，F(3)＝24，F(3)＝24＋23，所以x＝3≈1.73时，F(x)取得最大值．所以当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，公司将获得最大收益．一、选择题1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为()[答案]AA.5B．25C．35D．0[解析]设曲线在点P(x0，y0)处的切线与2x－y＋3＝0平行，则切线与2x－y＋3＝0间的距离即为所求．由y′＝[ln(2x－1)]′＝22x－1，则22x0－1＝2，x0＝1，所以P(1，0)，切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0，d＝522＋1＝5，故选A.2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50[答案]C[解析]设矩形长为2a，宽为b，则S＝2ab，且a2＋b2＝25，∴S＝2a25－a2(0a5)，∴S′＝225－a2－2a225－a2令S′＝0，得a2＝b2＝252当0a522时，S′0；当522a5时，S′0，因此当a2＝b2＝252时，S取得最大值，最大值为2ab＝25，故应选C.3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为()A．0.5mB．1mC．0.8mD．1.5m[答案]A[解析]设容器底面相邻两边长分别为3xm,4xm，则高为6－12x－16x4＝32－7x(m)，容积V＝3x·4x·32－7x＝18x2－84x30x314，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝17或x＝0(舍去)．x∈0，17时，V′0，x∈17，314时，V′0，所以在x＝17处，V有最大值，此时高为0.5m.二、填空题4．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．[答案]1∶1[解析]设窗户面积为S，周长为L，则S＝π2x2＋2hx，h＝S2x－π4x，所以窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝π2x＋2x＋Sx，L′＝π2＋2－Sx2.由L′＝0，得x＝2Sπ＋4，x∈0，2Sπ＋4时，L′0，x∈2Sπ＋4，＋∞时，L′0，所以当x＝2Sπ＋4时，L取最小值，此时hx＝2S－πx24x2＝2S4x2－π4＝π＋44－π4＝1.5．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为________．[答案]6%[解析]设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.09kx2－kx3(x0)，y′＝0.18kx－3kx