最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图像与性质第一课时

二次函数y=ax2的图象和性质北师大版九年级数学下册定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。（2）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）自变量的x最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（1）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是任意实数。整式。a≠0.2其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。温故知新反比例函数的图象一次函数的图象二次函数的图象是什么样子的？一条直线双曲线知识回顾创设情境，导入新课（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？（1）你们喜欢打篮球吗？问题：观察姚明的投篮……二次函数的图象跟投篮路线会不会有什么联系呢？画二次函数的图象。2yx解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x9944110描点法探究（2）在平面直角坐标系中描点：xyo-4-3-2-11234108642-21y=x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=x2的图象.观察函数的图象，交流思考以下问题:2yx(1)你能描述图象的形状吗?(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点.(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(3)当x0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x0呢？(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？概念学习二次函数的图像是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线的开口向上。像这样的曲线通常叫做抛物线。二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数的图象叫做抛物线。2yaxbxc2yaxbxcy=x2这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.2yx对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2在x轴上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小，最小值是0.2yxy随x的增大而减小y随x的增大而减小二次函数y=x2的性质：1.开口方向：__________2.对称性：__________3.顶点坐标：__________4.最值：_____________.5.增减性：____________________.开口向上关于y轴对称（0，0）当x＝0，y最小＝0当x﹥0时,y随着x的增大而增大.y=x2026-2-4-62468Xy104展示成果当x﹤0时,y随着x的增大而减小.画二次函数的图象。2yx解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x-9-9-4-4-1-10描点法探究（2）在平面直角坐标系中描点：xyo-4-3-2-11234-2-4-6-8y=-x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=-x2的图象.-10xyo-4-3-2-11234-2-4-6-8y=-x2-10观察函数的图象，它有什么特点?2yx2yxy抛物线y=-x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.二次函数y=-x2的性质：1.开口方向：____________2.对称性：____________3.顶点坐标：_____________4.最值：______________________5.增减性：________________________开口向下关于y轴对称（0，0）当x＝0，y最大＝0当x﹤0时,y随着x的增大而增大.yy=-x2-6-4-2026-2-4-6X4-8-10类比学习、再探新知当x﹥0时,y随着x的增大而减小2xy2xy抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴上方(除顶点外)在x轴下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.y=x2、y=-x2tx()=x×xux()=2×x×x1.列表：2.描点：3.连线：xy=2x2-201-12y=x2y=x212……顶点坐标1.在同一个平面直角坐标系中画出函数y=x2、y=2x2、y=x2的图象：12y=x2y=2x2y=x212a0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同只是开口大小不同顶点都是原点(0,0)探究一f1x()=-2×x×xg1x()=-12×x×x1.列表：2.描点：3.连线：xy=-2x2-201-12y=-x2y=-x212……顶点坐标2.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=-x2的图象：12y=-x2y=-2x2y=-x212y=x2y=2x2y=x212a0，开口都向下;对称轴都是y轴;增减性相同.只是开口大小不同2.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=-x2的图象：12开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2(a0)y=ax2(a0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.越小,开口越大.越大,开口越小.aa抛物线y=ax2的性质知识归纳一般地，抛物线y=ax2的对称轴是____轴，顶点是_______.当a0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a越大，抛物线的开口越___;当a0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a越大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大知识要点1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.解:（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解得a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为,所以点B（-1，-4）不在此抛物线上.2)1(24（3）由-6=-2x2,得x2=3,所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是3x)6,3()6,3(与课堂过关(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是,在侧,y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).(2)抛物线在x轴的方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的；在对称轴的右侧,y随着x的,当x=0时,函数y的值最大,最大值是,当x0时,y0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上232xy下增大而增大增大而减小0课堂过关2.填空3．点(x1，y1)、(x2，y2)在抛物线y=-x2上，且x1＞x2＞0，则y1__y2.﹤C3．设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的函数，该函数的图象是下列各图形中（）学以致用实战演练4.二次函数y=ax2的图象经过点（1，-3）1）求抛物线y=ax2的解析式2）确定此抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.3）x取何值时，二次函数y=ax2的y随x的增大而增大.（3）由函数y=ax2(a0)的图象性质可知：当x﹤0时，y随x的增大而增大.解：（1）把（1，-3）代入y=ax2得：a=-3∴抛物线y=ax2的解析式为：y=-3x2.（2）∵二次函数y=ax2中a﹤0，∴抛物线开口向下，其顶点坐标为（0,0），对称轴为y轴（直线x=0）.跃跃欲试,不如一试!一般地，抛物线y=ax2的对称轴是____轴，顶点是_______.当a0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a越大，抛物线的开口越___;当a0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a越大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大1.抛物线y=ax2的图象：2.抛物线y=ax2的图象中a决定开口方向和形状。a相同开口方向相同、形状相同，|a|越大，开口越小。课堂小结2xy2xy3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.课堂小结