高中数学知识点---椭圆、双曲线、抛物线

高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：||221FFa表示椭圆；||221FFa表示线段21FF；||221FFa没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay图形顶点),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA),0(),,0()0,(),0,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）通径22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆)0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交椭圆于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设椭圆)0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交椭圆于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQxOF1F2PyA2B2B1xOF1F2PyA2A1B1B2A1二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：aPFPF2||||21与aPFPF2||||12（||221FFa）表示双曲线的一支。||221FFa表示两条射线；||221FFa没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay图形顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),,0(21aBaB对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)1(eace（离心率越大，开口越大）渐近线xabyxbay通径22ba（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222byax，因式分解得到0xyab。②与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2xOF1PB2B1F2xOF1F2PyA2A1y（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交双曲线的同一支于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设双曲线)0,0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0p焦点在x轴上，焦点在x轴上，焦点在y轴上，焦点在y轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形顶点)0,0(O对称轴x轴y轴焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF离心率1e准线2px2px2py2py通径p2焦半径2||||0pxPF2||||0pyPF焦点弦焦准距pOFPylxOFPylxOFPylxxOFPyl四、弦长公式：||14)(1||1||2212212212AkxxxxkxxkAB其中,,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和2x的系数五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21；（3）设中点),(00yxM，由中点坐标公式得2210xxx；再把0xx代入直线方程求出0yy。法（二）：用点差法，设),(11yxA，),(22yxB，中点),(00yxM，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出00,yx。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)高考专题训练椭圆、双曲线、抛物线一、选择题：1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74答案：C2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3答案：C3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45答案：D4．(2011·浙江)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2答案：C5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32答案：A6．(2011·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP→＋OF2→)·F2P→＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为()A.2＋12B.2＋1C.3＋12D.3＋1答案：D二、填空题：7．(2011·江西)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．答案：x25＋y24＝18．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．答案：x216＋y28＝19．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A→＝5F2B→，则点A的坐标是____________．答案：(0，±1)10．(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：x29－y227＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.答案：6三、解答题：11．(12分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．解：(1)e＝ca＝305.(2)λ＝0或λ＝－4.12．(13分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e＝12，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解：(1)|BC|:|AD|＝34.(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立基础巩固题目椭圆、双曲线、抛物线（2）双曲线的实轴长是（A）2(B)(C)4(D)4【解析】选C.(5)在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为[来源:学#科#网]（A）2(B)(C)（D)【解析】选D.（21）（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。解：点P的轨迹方程为(3)双曲线的实轴长是（A）2(B)(C)4(D)4【解析】选C.(4)若直线过圆的圆心,则a的值为xy(,)2cos2492193AByxQBQQAuuuruurQMxMPQMMPuuuruuurP.12xyxyxyaxyxy（A）1(B)1(C)3(D)3【解析】.（17）（本小题满分13分）设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆证明：（I）反证法3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A.B.C.D.【解析】：，选B。19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。解：（Ⅰ）（Ⅱ）当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y=x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为AA．4B．3C．2D．11a11221212:x+1:y=kx1kkkk+20lykl，，其中实数满足，1l2l1l2l222x+y=1上.2sin(1,)2(1,)2(1,0)(1,)(1,)22214xy221xy||AB||AB.23ace3m19．（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.解：（Ⅰ）椭圆G的方程为（Ⅱ）△PAB的面积S=7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于AA．B．或2C．2D．17．（本小题满分13分）已知直线l：y=x+m，m∈R。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。（I）圆的方程为（II）当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。2222:1(0)xyGabab6322lPAB221.124xy.29||21dAB1122::PFFFPF1322或2312或2332或ll22(2)8.xy'l1m'l21.（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解：（I）点P在直线上（II）最小值为1