CFD计算流体动方程力学控制

2020/2/101宋立明李志刚李军能源与动力工程学院叶轮机械研究所E-Mail:[e-mail]计算流体动力学第二章适用于CFD的控制方程2020/2/102适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结4.适合CFD使用的控制方程2.不同形式控制方程1.基础知识3.物理边界条件2020/2/103CFD是围绕流体动力学建立的，流体力学基本控制方程是CFD的基础和灵魂，计算是手段。全部CFD都是基于这些方程的；CFD建模、计算这些方程具有各种不同的形式，而在CFD领域，方程形式是至关重要的；对控制方程组内容进行启蒙或巩固。适用于CFD的控制方程2020/2/104适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结4.适合CFD使用的控制方程2.不同形式控制方程1.基础知识3.物理边界条件2020/2/105☞要得到流体流动的基本方程，要遵循下面的过程：本节内容写出一个基本的物理学原理将它应用于合适的流动模型得到表现这一物理原理的方程牛顿第二定律质量守恒能量守恒固定无穷小流体微团随流场流动有限控制体固定有限控制体随流场流动无穷小流体微团基础知识：流动模型2020/2/106空间位置固定的有限控制体，流体流过控制体随流体流动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内控制体V控制面SVS微团dVV空间位置固定的小微团，流体流过微团沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度基础知识：流动模型2020/2/107设x,y,z轴的单位方向分别用i,j,k表示，则在笛卡尔坐标系下，速度向量场可表示为：Vuivjwk这里的速度x,y,z方向分别由下式给出：(,,,)(,,,)(,,,)uuxyztvvxyztwwxyzt此外，标量密度场表示为：(,,,)xyzt基础知识：物质导数2020/2/108xzOyijk12在t1时刻，图中1点，运动流体微团的密度是：在t2时刻，图中2点，流体微团的密度是：11111(,,,)xyzt22222(,,,)xyzt基础知识：物质导数2020/2/109在1点做泰勒级数展开：21121121121121()()()()()()()()()ttxxyyzztxyz高阶项除以t2-t1，并忽略高阶项，可得：平均密度变化率21tt212121limttDttDt21212121111121212121()()()()()()()xxyyzztttxttyttztt(21):代表流体微团通过1点时，流体微团密度变化的瞬时时间变化率。:定义为密度的物质导数。/DDt/DDt基础知识：物质导数2020/2/1010注意到：212121212121212121limlimlimttttttxxuttyyvttzzwttDuvwDttxyz(22)因此，当t2-t1时,对（2-1）取极限，得：DuvwDttxyz(23)基础知识：物质导数2020/2/1011利用笛卡尔坐标系下向量算子的定义：ijkxyz(24)式（2-3）可写为：()DVDtt(25)如：()DTTTTTTVTuvwDtttxyz(26)其中：是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的时间变化率；叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场空间不均匀性而导致的时间变化率。/DDt/tV基础知识：物质导数2020/2/1012如果：(,,,)xyzt那么，由全微分给出：ddxdydzdtxyzt(27)ddxdydzdttxdtydtzdt(28)由：式（2-8）变为：/,/,/,dxdtudydtvdzdtw/D/Dddtt与的表达式是完全相同的。duvwdttxyz(29)基础知识：物质导数2020/2/1013VtdSVVSn整个控制体的体积变化等于在控制体整个表面对上式求和：()VtdS如图，dS在时间增量内的运动所导致的控制体体积的改变：t[()]()VVtndSVtdS(210)基础知识：速度散度2020/2/1014对（2-11）的右边应用向量分析中的散度定理，得：=(V)dDDtVVV(212)假设控制体收缩到一个非常微小的体积，则（2-12）可以写为：V()=(V)dDDtVVV(213)两边除以，得到控制体体积变化的时间变化率：t1=(Vt)dS=VdSSSDDttV(211)基础知识：速度散度2020/2/1015()=(V)DDtVV或：1()V=DDtVV假设足够小，以至于在整个上都相等，那么当收缩到零时，我们有：VVVV上式左边为速度散度，右边就是速度散度的物理意义，即是每单位体积流动着的流体微团，体积随时间变化的变化率。V(214)基础知识：速度散度2020/2/1016适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结4.适合CFD使用的控制方程2.不同形式控制方程：连续方程1.基础知识3.物理边界条件2020/2/1017写出一个基本的物理学原理将它应用于合适的流动模型得到表现这一物理原理的方程牛顿第二定律质量守恒能量守恒固定无穷小流体微团随流场流动有限控制体固定有限控制体随流场流动无穷小流体微团连续方程应用质量守恒原理，分别采用四个流动模型来推导出流动控制方程（连续性方程）。2020/2/1018dSVSdVdS对于一个形状任意、大小有限的控制体。该控制体空间位置固定，其边界为控制面。流体穿过控制面，流过固定的控制体。假设某一点的流动速度为V，表面微元的面积向量为dS。仍用表示有限控制体内的一个体积微元。将质量守恒的物理学原理应用于这个控制体，意味着：dV通过控制面S流出控制体的净质量流量=控制体内质量减少的时间变化率或：B=C(215)特点：形状和体积不发生变化，质量可能改变。连续方程：空间位置固定的控制体2020/2/1019控制体内总质量为：nVdSVdS(216)通过控制面S流出整个控制体的质量净流量等于在S上对式（2-16）表示的所有质量微元求和。这个求和运算称为一个面积分，在物理上就代表了式（2-15）的左边，即：SBVdS(217)VdVdtVV体积内质量的增加率为：V通过面积dS的质量流量微元为：2020/2/1019连续方程：空间位置固定的控制体2020/2/1020VdVCt(218)相反的，体积内质量的减少率是上式的负数，即：V因而，将式（2-17）和式（2-18）带入式（2-15b），得：0VSdVVdSt(219)方程（2-19）是连续性方程的积分形式，这种形式称为守恒形式。由空间位置固定的流动模型直接导出的控制方程就定义为守恒型方程。连续方程：空间位置固定的控制体2020/2/1021考虑图2-2a右边所示的流动模型(一个随流体运动的有限大小的控制体)：SV若为当地密度，则有限控制体的总质量由下式给出：VmdV(220)物质导数：流体微团随流体运动时，其任何属性对时间的变化率。由于有限控制体是由无数个无穷小流体微团组成，并具有固定不变的总质量，那么这些不变质量总的物质导数等于零：0VDdVDt(221)特点：质量不变、形状和体积一般会发生变化。连续方程：随流体运动的控制体2020/2/10221Vjki(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)xyztVuivjwkuuxyztvvxyztwwxyzt()wwdzdxdyz()uudxdydzx()udydz()wdxdy()vdxdzdxdzOxyz()vvdydxdzy空间位置固定的无穷小微团模型：形状和体积固定。连续方程：位置固定的微团2020/2/1023如果定义净流出量为正，x方向的净流出量为：()()()vvvdydxdzvdxdzdxdydzyy()()()uuudxdydzudydzdxdydzxx()()()y方向的净流出量为：z方向的净流出量为：从而，流出微团的净流出量为：()()()=uvwdxdydzxyz净质量流量(222)无穷小微团内流体的总质量为，因此：()dxdydz(223)()dxdydzt质量增加的时间变化率连续方程：位置固定的微团2020/2/1024质量守恒的物理学原理应用于图2-7中所示的固定微团时，可用下面这句话来表述：流出微团的净质量流量必须等于微团内质量的减少。定义质量的减少为负，可以得到：()()()=()uvwdxdydzdxdydzxyzt或：()()()=0uvwtxyz(224)方程（2-24）方括号里的式子就是。这样，方程（2-24）变为：()V()=0Vt(225)方程（2-25）是连续方程的偏微分方程形式。它是基于空间位置固定的无穷小微团模型。微团的无穷小是方程具有偏微分形式的原因。而微团空间位置固定的事实决定了方程具有式（2-25）给出的微分形式，这种形式称为守恒形式。连续方程：位置固定的微团☞空间位置固定的流动模型直接导出的控制方程定义为守恒型方程。2020/2/1025随流体运动的无穷小流微团，其速度等于流线上每一点的当地速度。V特点：流体微团有固定质量，但它的形状和体积会在它向下游运动时变化。dV将这个流体微团固定的质量和可变的体积分别用和表示，有：Vm由微团质量守恒，有：mV(226)()0DmDt(227)综合方程（2-26）和（2-27），得：()()0DVDDVVDtDtDt连续方程：随流体运动的微团2020/2/1026或：1()0DDDtDtVV(228)将式（2-14）代入方程（2-28）后得到：0DVDt(229)方程是连续性方程的另一种偏微分方程形式，它是基于随流体运动的无穷小流体微团推导出来的。与前面一样，微团的无穷小是方程具有偏微分形式的原因。而微团随流体运动的事实则决定了方程具有式（2-29）给出的为微分形式，这种形式被称为非守恒形式。连续方程：随流体运动的微团☞由随流体运动模型直接导出的控制方程定义为非守恒性方程。2020/2/1027空间位置固定的无穷小微团非守恒型积分形式路径A路径B路径C路径D非守恒型微分形式0VSdVVdSt(1)0VDdVDt(2)()0Vt(3)0DVDt(4)连续方程的不同形式及其不同流动模型之间的关系空间位置固定的有限控制体随流体运动质量不变的有限控制体随流体运动质量不变的无穷小微团V守恒型积分形式守恒型微分形式连续方程：不同方程之间的转换2020/2/1028首先，考察如何从积分方程形式得到偏微分方程形式，也就是证明路径C。0VSdVVdSt由于推导方程（2-19）所用的控制体空间位置是固定的，方程（2-19）中积分的积分限是常数