高中数学第一章三角函数单元复习课课件

单元复习课第一章类型一:任意角的三角函数定义【典例1】(1)(2016·武汉高一检测)已知角α的终边与单位圆交于点则sinα的值为()3122(，)，3131A.B.C.D.2222(2)(2016·郑州高一检测)已知角α的终边上一点P(m,),且cosα=求sinα,tanα的值.310,4【解析】(1)选B.由已知,得所以(2)根据三角函数定义建立关于m的方程,求出m的值,然后再求其他三角函数值.由题意得x=m,所以r=|OP|=2231r1,22()()1y12sin.r12y3,2m3,所以解得m=±(负值舍去),则r=所以2xm10cos,r4m3522,y36y315sin,tan.r4x5225【规律总结】任意角的三角函数的定义已知任意角α,以角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为x轴的正方向,建立直角坐标系.设P(x,y)为α终边上任一点,OP=r(r≠0),则有(1)比值叫做角α的余弦,记作cosα,即cosα=.(2)比值叫做角α的正弦,记作sinα,即sinα=.(3)比值叫做角α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).xryryxxryryx提醒:三角函数是一个比值,因此角α三角函数值的大小只与α的终边有关,而与点P在终边上的位置无关.【巩固训练】若点P(-4a,3a)(a≠0)为角α终边上一点,求sinα,cosα,tanα.【解析】由题意得当a0时,r=5a,角α在第二象限,当a0时,r=-5a,角α在第四象限,22r(4a)(3a)5a.y3a3sin,r5a5x4a4y3a3cos,tan.r5a5x4a43sin,543cos,tan.54类型二:诱导公式及同角三角函数关系式【典例2】(1)已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则sin2θ-cos2θ=________.(2)已知cos(π+α)=,且α∈(π,),求tanα.153532【解析】(1)因为sinθ+cosθ=,所以sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2-所以sinθ和cosθ的符号相反.又因为θ∈(0,π),所以所以sinθ0,cosθ0.所以sinθ-cosθ0.所以sinθ-cosθ=15121111120.2225225,.2()24712sincos1.255所以sin2θ-cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=答案:177.5525725(2)因为cos(π+α)=-cosα=,所以cosα=-.又因为α∈故所以tanα=35353(,),22sin1cos2341,55()sin4.cos3【延伸探究】本例中的条件“α∈(π,π)”若去掉,其他条件不变,试求tanα.32【解析】因为cos(π+α)=且cos(π+α)=-cosα,所以cosα=-.(1)若α是第二象限角,(2)若α是第三象限角,353524sin4sin1cos,tan.5cos324sin4sin1cos,tan.5cos3【规律总结】1.三角函数的诱导公式及应用(1)三角函数的诱导公式有六组,要能熟练应用,其记忆口诀是“奇变偶不变,符号看象限”.(2)公式的作用:可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数.提醒:若化简中出现“kπ”或“”(k∈Z)时,要对k进行分类讨论,再利用公式进行化简、证明.k22.三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦:当三角函数式中三角函数名称较多时,往往把三角函数名称化为正弦或余弦,再变形化简.(2)化切:当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,有时可将三角函数名称都化为正切,再变形化简.(3)“1”的代换:在三角函数式中,有些会含有常数1,常数1虽然非常简单,但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.【巩固训练】(2016·全国卷Ⅲ)若tanα=,则cos2α+2sin2α=()【解析】选A.cos2α+2sin2α=34644816A.B.C.1D.252525222cos4sincossincos214tan64.tan125类型三:三角函数的图象与性质【典例3】(2016·北京高考)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)求f(x)的单调递增区间.【解析】(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx=最小正周期T==π,所以ω=1.(2)所以单调递增区间为(k∈Z).2sin2x4()，22fx2sin2x2k2x2k4242()，由，3kZkxkkZ88得，，，3[k,k]88【规律总结】1.函数y=sin(ωx+φ)的图象(1)图象变换:途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y=sinx的图象向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω0),便得y=sin(ωx+φ)的图象.1途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω0),再沿x轴向左(φ0)或向右(φ0)平移个单位,便得y=sin(ωx+φ)的图象.1｜｜(2)五点法作y=Asin(ωx+φ)的简图五点取法是设x′=ωx+φ,由x′取来求相应的x值及对应的y值,再描点作图.30,,,,2222.函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A0,ω0)的最大值是A+B,最小值是B-A,周期是频率是相位是ωx+φ,初相是φ;其图象的对称轴是直线ωx+φ=凡是该图象与直线y=B的交点都是该图象的对称中心.2T，f2，kkZ2（），3.由y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.(0)，【巩固训练】若函数y=Asin(ωx+φ)+b在其中一个周期内的图象上有一个最高点和一个最低点求该函数的解析式.A0,0,(2｜｜)312(，)7512(，)，【解析】由题意,知b==-1,T=π,A=4.所以ω==2.所以所求函数解析式为y=4sin(2x+φ)-1.因为为该函数图象上的点,所以当x=时,y=3,即所以所以所以因为所以该函数的解析式为5322T,312()124sin13,6()sin16()，2k,kZ.622kkZ.3，.23｜｜，所以y4sin2x1.3()