高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课件苏教版

3.3复数的几何意义第3章数系的扩充与复数的引入学习目标1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢？知识点一复平面答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做，x轴叫做，y轴叫做.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复平面实轴虚轴知识点二复数的几何意义1.复数与点、向量间的对应关系Z(a,b)2.复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作或.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝.OZ→OZ→|z||a＋bi|a2＋b2思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？知识点三复数加、减法的几何意义答案如图，设OZ1—→，OZ2—→分别与复数a＋bi，c＋di对应，且OZ1—→，OZ2—→不共线，则OZ1—→＝(a，b)，OZ2—→＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，得OZ1—→＋OZ2—→＝(a＋c，b＋d)，所以OZ1—→＋OZ2—→与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行.思考2怎样作出与复数z1－z2对应的向量？图中OZ1—→对应复数z1，OZ2—→对应复数z2，则Z2Z1—→对应复数z1－z2.答案z1－z2可以看作z1＋(－z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图).复数加法的几何意义复数减法的几何意义梳理(1)复数加减法的几何意义复数z1＋z2是以OZ1—→，OZ2—→为邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数复数z1－z2是从向量OZ2—→的终点指向向量OZ1—→的终点的向量Z2Z1—→所对应的复数(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的.a－c2＋b－d2距离[思考辨析判断正误]1.原点是实轴和虚轴的交点.()2.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()3.在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数.()4.复数的模一定是正实数.()√××√题型探究类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；解答即当－3x2时，点Z在第三象限.当实数x满足x2＋x－60，x2－2x－150，解因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数.(2)直线x－y－3＝0上.解答解z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点的坐标为Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；解答解当实数x满足x2＋x－6＝0，即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上.(2)第四象限.解当实数x满足x2＋x－60，x2－2x－150，即当2x5时，点Z在第四象限.反思与感悟按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.解答即－7m3.故当－7m3时，复数z的对应点位于第四象限.解由题意，知m2－8m＋150，m2＋3m－280，解得m3或m5，－7m4.跟踪训练1求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限；解答由②得m＝－7或m＝4.因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①，所以m＝4.故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上.解由题意，知m2－8m＋150，①m2＋3m－28＝0，②(2)位于x轴的负半轴上？类型二复数模及其几何意义的应用例2已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.(1)求|z1|及|z2|的值；解|z1|＝|3－i|＝32＋－12＝2，|z2|＝－12＋32i＝－122＋322＝1.答案解答(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点z的集合是什么图形？解由(1)知1≤|z|≤2，因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示.反思与感悟(1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.(2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.解答∴a2＋b2＝1，a＋12＋b2＝1，即a2＋b2＝1，a＋12＋b2＝1，即a2＋b2＝1，a2＋b2＋2a＝0，解得a＝－12，b2＝34，跟踪训练2设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值.解设z＝a＋bi(a，b∈R).∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1，∴|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝a－12＋b2＝－12－12＋34＝3.类型三复数加、减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.解答求：(1)AO→表示的复数；由复数的几何意义，知OA→与OC→表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.因为AO→＝－OA→，所以AO→表示的复数为－3－2i.解因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，解答(2)CA→表示的复数；解因为CA→＝OA→－OC→，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB→表示的复数.解OB→＝OA→＋OC→，所以OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反思与感悟(1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则①四边形OACB为平行四边形.②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形.③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形.④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.答案解析∵OB→＝OA→＋AB→，跟踪训练3(1)已知复平面内的平面向量OA→，AB→表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则|OB→|＝______.10∴OB→表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，∴|OB→|＝12＋32＝10.解析答案(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________.解析z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－10，即a1.解析(－∞，1)达标检测答案12345解析1.若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为________.－3i解析OZ→＝(0，－3)，∴Z(0，－3)，复数z＝0＋(－3)i＝－3i.12345解析2.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m＝____.解析∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上，答案9∴m－3＝2m，解得m＝9.解析∵3－4i＝x＋yi，∴x＝3，y＝－4.则|1－5i|＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝2，∴|1－5i||x－yi||y＋2i|.答案解析123453.已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为____________________.|1－5i||x－yi||y＋2i|26512345解析∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点为(5，－7)，其位于第四象限.答案解析4.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第___象限.四12345设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.答案解析5.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是_______.5－2i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为52，－1，1.复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径.(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).规律与方法(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ→相等的向量有无数个.2.复数的模(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2.(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.本课结束