高中数学第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1课件新人教A版

主题1随机变量1.掷一枚硬币的随机试验中,它有几种不同的结果?提示:可能出现正面向上、反面向上两种结果.2.如果用数字1和0分别表示正面向上和反面向上,试完成下表:试验结果对应数字正面向上________反面向上______提示:试验结果对应数字正面向上__反面向上__103.当对应关系确定了,每一个试验结果是一个确切数字吗?提示:当对应关系确定后,每一个试验结果都是一个确切数字.结论:随机变量(1)定义:在随机试验中,确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个___________表示.在这个对应关系下,数字随着_________的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.(2)表示:随机变量常用字母__________…表示.确定的数字试验结果X,Y,ξ,η【微思考】1.随机变量与函数都是映射,试写出两者分别是从什么到什么的映射?提示:随机变量是试验的结果到实数的映射;函数是实数到实数的映射.2.在随机变量中,哪个量相当于函数的定义域,哪个量相当于函数的值域?提示:在随机变量中,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.主题2离散型随机变量1.在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,可能含有的次品数X的取值范围是多少?提示:其取值范围是{0,1,2,3,4}.2.{X=0}表示什么事件?{X=4}表示什么事件?{X3}表示什么事件?提示:{X=0}表示“抽取0件次品”,{X=4}表示“抽取4件次品”,{X3}表示“抽取3件以下的次品”.结论:离散型随机变量所有取值可以_________的随机变量称为离散型随机变量.一一列出【微思考】离散型随机变量应满足哪两个条件?提示:一是能一一列举出来,二是只能取有限个.【预习自测】1.下列变量中,不是随机变量的是()A.一射击手射击一次的环数B.水在100℃时会沸腾C.抛掷两枚骰子,所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数【解析】选B.由随机变量定义可知,它是随机试验的结果,是不确定的,故选B.2.下列随机变量中是离散型随机变量的为()A.某人早晨在车站等出租车的时间XB.以测量仪的最小单位计数,测量的舍入误差XC.连续不断地射击,首次命中目标所需要的射击次数XD.沿数轴随机运动的质点在数轴上的位置X【解析】选C.选项A,B,D中的随机变量X可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.3.(2017·青岛检测)将一枚骰子抛掷两次,以下是随机变量的是()A.两次点数都小于7B.第一次出现小于7的点,第二次出现大于7的点C.两次出现的点数之和D.两次都出现了小于1的点【解析】选C.A的结果是必然的,B中第2次与D的结果是不可能的,不能成为随机变量,而选项C整体反映两次投掷结果,可以预见两次出现的点数之和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这11种结果,但每掷一次之前都无法确定是哪一个,因此是随机变量.4.一批产品共有12件,其中次品3件,每次从中任取一件,在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________.【解析】因为次品总共有3件,所以ξ的最大值为3.即ξ的取值为0,1,2,3.答案:0,1,2,35.“掷一枚骰子”这一随机试验中所得点数是一随机变量ξ,则随机变量ξ=2,对应随机事件是________.【解析】随机变量ξ=2,表明掷一枚骰子,出现的点数为2.答案:掷一枚骰子,出现2点类型一随机变量的概念【典例1】指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.(1)任意掷一枚均匀硬币5次,出现正面向上的次数.(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字).(3)某个人的属相随年龄的变化.(4)在标准状况下,水在-5℃时结冰.【解题指南】依据随机变量的定义判定.即要判定变量是否为随机变量,关键是看所给变量是否随试验结果的变化而变化.【解析】(1)任意掷一枚硬币1次,可能出现正面向上也可能出现反面向上,因此投掷5次硬币,出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果是随机的,是随机变量.(2)投一颗骰子出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6点中的一个且出现哪个结果是随机的,因此是随机变量.(3)属相是出生时便定的,不随年龄的变化而变化,不是随机变量.(4)标准状况下,在-5℃时水结冰是必然事件,不是随机变量.【方法总结】随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同.(2)随机试验的结果的确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,则该变量即为随机变量.【巩固训练】某学生上学的路上有6处红绿灯.(1)在每个红绿灯路口因红灯停留的时间之和是随机变量吗?(2)在上学路上遇到的红灯的个数是随机变量吗?【解析】(1)是随机变量.在上学的路上因红灯停留的时间之和都与一个非负实数对应,因此在每个红绿灯路口因红灯停留的时间之和是一个随机变量.(2)是随机变量.在上学路上遇到的红灯的个数都与0,1,2,3,4,5,6这7个数字之一相对应,因此在上学路上遇到的红灯的个数是一个随机变量.类型二离散型随机变量的判定【典例2】(1)下列变量中,不是离散型随机变量的是()A.从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张,被取出的号数ξB.连续不断射击,首次命中目标所需要的射击次数ηC.某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1D.电话号码“110”每分钟被呼叫的次数η1(2)指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.①湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯,将所有路灯进行编号,随机选某一路灯,其编号X;②在一次数学竞赛中,设一、二、三等奖,小明同学参加竞赛获得的奖次X;③一天内气温的变化值X.【解题指南】依据离散型随机变量的定义进行判定.【解析】(1)选C.从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张,被取出的号数ξ的可能取值为1,2,3,4,5,故A是离散型随机变量;连续不断射击,首次命中目标所需要的射击次数η的可能取值为1,2,3,4,5,…,故B是离散型随机变量;某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1,其取值不能够一一列出,故C不是离散型随机变量;电话号码“110”每分钟被呼叫的次数η1的可能取值为0,1,2,3,4,5,…,故D是离散型随机变量.(2)①桥面上的路灯是可数的,编号X可以一一列出,是离散型随机变量;②小明获奖等次X可以一一列出,是离散型随机变量;③一天内的气温变化值X,可以在某区间内连续取值,不能一一列出,不是离散型随机变量.【方法总结】判断离散型随机变量的方法判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出,具体方法如下:(1)明确随机试验的所有可能结果.(2)将随机试验的结果数量化.(3)确定试验结果所对应的实数′是否可以一一列出,如能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.【拓展延伸】随机变量的分类【巩固训练】判断下列各个变量是否是随机变量,若是,是否是离散型随机变量?(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被抽出卡片的号数.(2)某林场的树木最高达30m,在此林场中任取一棵树木的高度.(3)体积为27cm3的正方体的棱长.【解析】(1)抽出卡片的号码是不确定的,是随机变量,只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.(2)林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,不是离散型随机变量.(3)体积为27cm3的正方体棱长为3cm为定值,不是随机变量.【补偿训练】如果X是一个离散型随机变量,那么下列命题中为假命题的是()A.X取所有可能值的概率是非负实数B.X取所有可能值的概率之和为1C.X取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【解析】选D.由分布列性质可知A,B均正确,由选的取值不同所对应的随机事件互斥可知C正确,故选D.类型三用随机变量表示随机试验的结果【典例3】(1)在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规则规定:每题回答正确得2分,回答不正确倒扣1分,记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ,则ξ的所有可能取值构成的集合是________.(2)写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.①一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数ξ;②某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.【解题指南】(1)回答这三个问题可能有4个不同的结果,答对0个、1个、2个、3个.(2)①可从题设要求以及球的编号,确定被取球的最大号码数,进而写出试验结果;②呼叫的次数是有限的,也是离散的.【解析】(1)三个问题回答完,其回答可能结果有:三个全对,两对一错,两错一对,三个全错,故得分可能情况是6分,3分,0分,-3分,所以ξ的所有可能取值构成的集合为{6,3,0,-3}.答案:{6,3,0,-3}(2)①ξ可取3,4,5.ξ=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3;ξ=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4;ξ=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.②η可取0,1,…,n,…η=i,表示被呼叫i次,其中i=0,1,2,…【延伸探究】1.典例(2)①中的“被取出的球的最大号码数ξ”改为“被取出的球的最小号码数ξ”,结果如何?【解析】ξ可取1,2,3.ξ=1,表示取出的3个球的编号为1,2,3或1,2,4或1,2,5或1,3,4或1,3,5或1,4,5;ξ=2,表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5;ξ=3,表示取出的3个球的编号为3,4,5.2.若将典例(2)①中的条件“取出3只球”改为“取出2只球”,被取出的球的最大号码ξ,结果如何?【解析】ξ可取2,3,4,5.ξ=2,表示取出的2个球的编号为1,2;ξ=3,表示取出的2个球的编号为1,3或2,3;ξ=4,表示取出的2个球的编号为1,4或2,4或3,4;ξ=5,表示取出的2个球的编号为1,5或2,5或3,5或4,5.【方法总结】确定离散型随机变量结果的步骤(1)确定随机变量的所有可能取值.(2)依据随机变量各个取值确定对应试验结果.【补偿训练】同时抛掷5枚硬币,得到硬币反面向上的个数为ξ,则ξ的所有可能取值的集合为________.【解析】掷5枚硬币,硬币反面向上最少有0个,最多有5个.因此ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.答案:{0,1,2,3,4,5}【课堂小结】1.知识总结2.方法总结随机变量的判断方法(1)每一个试验的结果是随机的.(2)随机变量是随机试验结果到实数的映射.(3)可预先知道随机试验的所有结果,但在一次试验中不能确定究竟出现哪一个结果,变量会取哪一个值.