31平面的法向量

为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？1、直线的方向向量ale直线上的非零向量以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量leel练习:设分别是的方向向量，判断的位置关系ba,21,ll21,ll(1)(2,3,1),(6,9,3)(2)(5,0,2),(0,4,0)(3)(2,1,3),(6,3,3)ababab如何用一个向量来刻画平面的“方向”呢？由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnnAnl给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnm问题探讨1、已知Ａ（1，1，-1），Ｂ（2，3，1），则直线ＡＢ的一个方向向量是；变形：直线ＡＢ的模为1的方向向量是。2、已知非零向量、及平面，若向量是平面的法向量，则是向量所在直线平行于或在内的（）aba0babＡ．充分必要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件)2,2,1(AB)32,32,31()32,32,31(nn或A例2、在正方体中，求证：是平面的法向量．1111DCBAABCD1DB1ACDB1C1CABED1DA1Ｚxy证明：建立如图所示的空间直角坐标系，），，（），，，（1110001BD），，（1111DB)0,1,0(),1,0,0(,0011CDA），，（），，（），，，（11010111CDAD010111111），，（），，（ADDB011011111），，（），，（CDDBAACAD1又1111CDDB，ADDB11ACDDB平面法向量为故11ACDDB=(2,2,1),=(4,5,3),例2.已知求平面的单位法向量.ABACABC=()nxyzABC解：设，，为平面的法向量，(,,)(,,),22104530，（，，），（，，）nABnACxyzxyz则2+2+=0,4+5+3=0,xyzxyz即,1==12=-1,，xzy取得,1=(,-1,1)2n3||=2n122±(-333，，）ABC平面的单位法向量为问题：如何求平面的法向量？=(,,)nxyz(1)设为平面的法向量;111222=(,,),=(,,);aabcbabc(2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222,,0,0,00;xyzaxbycznanbaxbycz(3)根据法向量的定义建立关于的方程组⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.练习:解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.例3在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式。(,,)nABC),,(zyxM),,(000zyxPzyx,,解：由题意得）（000,,zzyyxxPM因为是平面的法向量，所以nnPM从而即0nPM0,,000）（），，（zzyyxxCBA0000）（）（）（zzCyyBxxA所以满足条件的关系式为：得到0000）（）（）（zzCyyBxxA平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示例题：090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.1BA1ABC1C1D1Fxyz四、教学过程的设计与实施nBa22anan直线的方向向量为，平面的法向量为空间向量的应用----求直线与平面所成的角设直线与平面所成的角为,直线的方向向量与平面的法向量的夹角为向量法：PAn如图，已知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面一个法向量。nnAP=nAPcosnAP是与成角，其中，cos,nAPAPn的距离。到平面就是点绝对值的PcosAP例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz