s曲线与方程

求轨迹方程高二数学组崔建欣学习如几何曲线幸福似小数循环.教学目标：1、知识与能力:会求各种曲线的方程2、过程与方法:会用直接法、相关点法、定义法求曲线的方程3、情感态度与价值观：培养合作探讨、勇于创新的精神，渗透事物之间等价转化的辩证唯物主义观点重点：会用相关点法求曲线的轨迹方程难点：灵活运用各种方法求轨迹方程•[分析]设动点坐标―→寻求几何条件―→将几何条件坐标化(解析法)―→求轨迹方程．直接法求曲线的方程例1两个顶点A,B的坐标分别(-6,0)(6,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于求顶点C的轨迹方程49ABC解：设C(x,y)，当x=6时，直线BC斜率不存在；当x=-6时，直线AC斜率不存在，均不合题意；6x2222k,66494669x13616x13616ACBCACBCyykxxkkyyxxyyC整理，得的方程当时，x6)（•[点评]1.直接法求轨迹方程是常用的基本方法，大多数题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等式整理可得．•2直接法步骤是：建系设点、列等式、代换、化简、证明“五步法”．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．学后反思当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法，也叫直译法.2213616(6)xxy9494思考：若将例1中改为结果是什么？结论：平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.12(,0),(,0)AaAa学案例2已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1与圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．•[解析]如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得•|MC1|=r+1•|MC2|=r+3定义法求曲线方程∴|MC2|－|MC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)．这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－y28＝1(x0)．•[点评](1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．•(2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支．这一点要特别注意！已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引的外角平分线的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程。12FF、221169xy12FPF解：如图x0yPQM1F2F延长交的延长线于点M，可得为等腰三角形，故,所以连接QO,可知，QO为的中位线故,所以点Q的轨迹是以O为圆心，4为半径的圆。其方程为1FQ2FP1FPM1FPPM222128FMFPPMFPFPa12FFM2142QOMF2216xy相关点代入法求曲线的方程例3已知x轴上一定点A（1,0），Q为椭圆上一动点，求线段AQ中点M的轨迹方程2214xy0,0xy解设M（x,y)Q()因为Q在椭圆上，所以000121'22xxyyyy0由已知可得xx=22200x14yAMQxy所以点M轨迹方程为2222(21)(2)14x41xyy整理得1-222x41y1-2点评：在这个题目中，有两个动点Q,M，其中Q为主动点，M为从动点；主动点Q在已知曲线上运动。也就是说这种问题的辨别特征是：【1】有主动点和从动点两种动点【2】主动点在已知曲线上运动AMQxy•这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法.•一般地，定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法．请做下面变式练习，并思考此种题目解题程序变式训练2AMMQ1将例3中条件改为若，求M的轨迹方程.2改为：求椭圆关于点（3,4）对称的曲线方程总结：相关点法的判别与程序判别：看题目是否具有下列两个条件【1】有主动点和从动点两种动点【2】主动点在已知曲线上运动程序:①设主动点坐标为()，从动点坐标为（x,y）②找到主动点坐标与从动点坐标之间的两个等式关系，即与x,y之间的关系③从两个等式中消去，所得的关于x,y的等式就是从动点轨迹方程简称：①设坐标②找等式③消参数00,yx00,yx00,yx参数法求曲线方程•例4在平面直角坐标系中，O(0,0)A（1,0）B（2,2）若点C满足，其中求点C轨迹方程()OCOAtOBOAtR解设C(x,y)点C的轨迹方程为2x-y-2=0OC(OA1t,2t)12,OAtOBxtyttx,y）（消去得[点评]用参数法求轨迹方程时，一要选好参数，将动点的横、纵坐标表示成参数的形式；二要掌握消参的技巧．3.点P是圆上的动点，O是坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹.22414xy变式训练xy0PQ解：做简图如图圆的参数方程为(θ为参数)所以点P的坐标为(4+2cosθ,1+2sinθ)设Q点的坐标为(x,y)由中点坐标公式得化简得22414xy42cos12sinxy2cos1sin2xy221(2)()12xy4.过抛物线的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程.24yx变式训练解析：由题意知，两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为k，则OA:y=kx,OB:由得同理由得设P(x,y),则(1)(2)1yxk24ykxyx244,Akk214yxkyx24,4Bkk221212xkkykk……学后反思本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应注意方程的等价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.xftygt由，得即故线段AB的中点P的轨迹方程为2y28x228yx228yx2(2)2(1)•练习1点M与已知点P(2,2)连线的斜率是它与点Q(－2,0)连线的斜率的2倍，求点M的轨迹方程．[误解]设点M的坐标为(x，y)，由已知可得y－2x－2＝2×yx＋2，①化简整理得，点M的轨迹方程为xy＋2x－6y＋4＝0.②[正解]设点M的坐标为(x，y)，当x＝2时，直线PM的斜率不存在；当x＝－2时，直线MQ的斜率不存在，均不合题意；当x≠±2时，由已知得y－2x－2＝2×yx＋2，化简整理得，点M的轨迹方程为xy＋2x－6y＋4＝0(x≠±2)．[点评]因为直线PM和直线MQ的斜率都存在，所以在①中，x≠±2，但在②中却有x＝±2，此时点P(2,2)和Q(－2,0)在方程②的曲线上，其原因是从①到②是非等价变形，x的范围扩大了•练习2已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解析]设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则|MC1|＝r＋2|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22|C1C2|，∴动圆圆心M是以C1，C2为焦点的双曲线右支，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(x0)，知a＝2，c＝4，b2＝14，∴动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1(x0)．•练3过双曲线x2－y2＝1上一动点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为M，求线段QM的中点P的轨迹方程．•[分析]题目中的Q，M均为动点，因而其•中点P也为动点，由条件中的中点和垂直关•系可得到坐标关系，最后将坐标代入曲线•方程，即得到QM中点P的轨迹方程．[解析]设QM中点为P(x，y)，Q(x1，y1)，由中点关系得:M点坐标为(2x－x1,2y－y1)．∴2x－x1＋2y－y1＝2.①又QM垂直于直线x＋y＝2，∴y－y1x－x1＝1即y－y1＝x－x1.②联立，得，解得，由Q在双曲线上，知x2－y2＝1,可得所以故所求轨迹方程为11112220xxyyyyxx11322322xyxxyy22111xy223232122xyxy223232122xyxy想一想:今天在课堂上你学到了什么？求曲线的方程常用的几种方法（1）直接法（2）定义法（3）相关点法（4）参数法课堂小结课后作业：1.已知点Q是曲线上的动点，点A的坐标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹方程.2yx2.若直线y=kx+b交抛物线于A、B两点，已知|AB|=,线段AB的中点纵坐标等于-5,求k,b的值.2xy45课后作业1.已知点Q是曲线，上的动点，点A的坐标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹方程.2yx解析：设P(x,y),Q(x0,y0),则由中点坐标公式，得解得∵点Q在曲线上，∴∴,化简得00122xxyy00212xxyy2yx200yx2221yx2122yx2.若直线y=kx+b交抛物线于A、B两点，已知|AB|=,线段AB的中点纵坐标等于-5,求k,b的值.2xy45解析:由得设,,则∴①又1212xxkxxb222212121222114ABxxyykxxkkb221480kkb21222xxkykxbkbb中中2ykxbxy11,Axy22,Bxy20xkxb∴或经检验均符合要求.24k215k152532kkbb或252kb22100kb4219600kk∴②②代入①，得