6小升初质数和合数复习题

1★1、有四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个是大于70的最小质数，求它们的和。解析：最小的奇质数是3，唯一的偶质数是2，小于30的最大质数是29，大于70的最小质数是71，因此它们的和是：3+2+29+71=105★2、105的正约数有多少个？解析：先把105分解质因数为：105=3×5×7则105的正约数个数为：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个★3、144的正约数有多少个？全部正约数之和是多少？解析：144=24×32，144的正约数个数为：（4+1）×（2+1）=15个。全部正约数之和为：（20+21+22+23+24）×（30+31+32）=403★4、已知质数p和q满足3153qp，求13qp的值。解析：3p与3q的和是31，是个奇数，奇数+偶数=奇数，因此3p与5q两个积其中之一是偶数，而3、5是奇数，奇数和偶数乘积才会是偶数，因此p和q之一必有一个是偶质数2.若p=2，则q=（31-3×2）÷5=5，q是质数，因此p=2,q=5符合题意.则.81153213qp若q=2，则q=（31-5×2）÷3=7，因此p=7,q=2,则1132713qp综上，13qp=7或1★5、若P为质数，且43P仍为质数，求53P的值.2解析：p4+3﹥3,因此p4+3是一个奇质数，那么p4是一个偶数，那么p是偶质数2.则25+3=35★6、设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．解析：质数除了2之外都是奇数。p+q=r，若p和q都是奇数，则和为偶数，因此p与q之一必为偶质数2.p﹤q，因此p=2。★7、已知p,p+8,p+10都是质数，求p。解析：把质数按模3分类：3、3k+1、3k+2.若P为除以3余1的质数，p+8不是质数若p为除以3余2的质数，p+10不是质数。若p为3，p+8,p+10都是质数。所以p=3.★8、证明；如果2PP、都是大于3的质数，那么6(1)P.证明:设p=6k+1,则p+2=6k+1+2,p+2不是质数。因为p是质数，不等于6k+2、6k+3、6k+4、6k.则p=6k+5,则p+1=6k+5+1=6(k+1),即：6(1)P★9、已知p,p+6,p+12,p+18,p+24都是质数，求p。解析：设p=5k+1,则p+24=5k+25,不是质数，因此p≠5k+1设p=5k+2,则p+18=5k+20,不是质数，因此p≠5k+23设p=5k+3,则p+12=5k+15,不是质数，因此p≠5k+3设p=5k+4,则p+6=5k+10，不是质数，因此p≠5k+4设p=5k,则p=5,p+6=11,p+12=17,p+18=23,p+24=29★10、有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数，求三个数的积。解析：最小的奇质数是3，最小的奇合数是9，既不是质数也不是合数的数是1，这三个数的乘积是：3×9×1=27★11、从1开始的连续正整数中第15个质数是NN，的各位数字之和为a，数字之积为b，求22ba.解析：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，第15个质数是47，各位数字之和是11，数字乘积是28，则b2-a2=663★12、正整数1，2，……N中有p个质数，q个合数，m个奇数，n个偶数.求()()nqmp的值.解析：原式=（n+m）-(q+p)，n+m是1至N所有的整数，p+q是除了1之外2至N的所有整数。因此原式=1.★13、在150~200间找两个数，使它们的乘积为110×273.解析：110×273=2×3×5×11×91=（91×2）×（3×5×11）=182×165★14、一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数，我们4称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和是多少？解析：两位无暇质数：13、31、17、71、37、73、79、97，这些质数的和是：418★15、试说明有无穷多个正整数n，使得237nn为合数.解析：设n=7k,则有无穷多个n，使得237nn为合数。▲1、有三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小质数，一个是100以内最大的质数，求这三个数的和。解析：偶质数2，大于50的最小质数53，100以内最大的质数97，2+53+97=152▲2、一次数学竞赛中，小明的名次、成绩与他的岁数乘起来是2910，你能算出小明的成绩和名次吗？解析：2910=2×3×5×97，小明15岁，名次第2名，成绩97分。▲3、设x表示为不超过正数x的质数个数，例如3.1=2，7=4等，则48×6.7-10.1的值为多少？解析：小于48的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、6748×6.7-10.1=15×5-4=71=19▲4、若质数m,n满足5m+7n=129,求m+n的值。5解析：129是个奇数，m或n之一为偶质数2，若m=2，则n=（129-5×2）÷7=17，m+n=19，若n=2,则m=（129-7×2）÷5=23，m+n=25▲5、若pq、是质数，关于x的方程597pxq的根为1，求2qp的值.解析：由题意得，597pxq为奇数，故p、5q为一奇一偶，故p、q为一奇一偶，得p、q中必有一个数为2.若p=2，则q=19，若q=2，则p=87不合题意，因此2qp=15▲6、证明有无穷多个n，使241nn为合数.解析：设n=41k，则有无穷多个n，使241nn为合数。▲7、若有三个质数的乘积恰好是这三个数和的11倍，求这三个质数.解：11、7、3▲8、(1)pq、是两个大于2的质数，证明pq是合数.解：设p=2k1+1,q=2k2+1,p+q=2(k1+k2+1),k1、k2≥1，因此p+q的和是合数。(2)p是质数，23p仍为质数，证明33P也是一个质数.解：设p=2k+1,则23p=4（k2+k+1）,不是质数，所以p=2,23p=7,33P=11.▲9、pq、是质数，711pqpq，也是质数，试求式子()(22)qppqpq的值.解：7p+q的和是个质数，是个大于2的质数，则为奇质数，奇数+偶数=奇数，6因此p、q必有一个是偶质数2，若p=2,设q=3k+1,则7p+q不是质数，设q=3k+2,则pq+11不是质数，因此q=3,则()(22)qppqpq=29，若q=2,设p=3k+1,则7p+q不是质素，设p=3k+2,则pq+11不是质数，因此p=3,代入()(22)qppqpq=29。▲10、设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．解：设p=6k+1,则2p+1不是质数，因此p=6k+5,k≥0,4p+1=24k+21=3(8k+7)是个合数。▲11、abc，，是不同的正整数，两两互质，且其中任何两个数的和能被第三个数整除，求333abc的值.解：36▲12、是否存在连续88个自然数都是合数？解：我们用n！表示1×2×3×…×n.令a=1×2×3×…×89=89！，那么，如下连续88个自然数都是合数：a+2，a+3，a+4，…，a+89．这是因为对某个2≤k≤89，有a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1)是两个大于1的自然数的乘积．