正多边形和圆―巩固练习(提高)

正多边形和圆—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015•雅安校级一模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4C．1：：2D．1：2：32．将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为()A．233cm2B．334cm2C．338cm2D．33cm23．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°D．75°第3题第5题4．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是()．A．S6＞S4＞S3B．S3＞S4＞S6C．S6＞S3＞S4D．S4＞S6＞S35.如图所示，八边形ABCDEFGH是正八边形，其外接⊙O的半径为2，则正八边形的面积S为（）．A.22B.42C.8D.46．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（）A．B．C．D．二、填空题7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________．8．如图所示，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为________．PDRCQBOA9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为．10．（2015•五通桥区一模）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD的周长的最小值是．11．如图所示，有一个圆O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r:a=；r:b=；（2）正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值是．第11题图第12题图12．如图所示，已知正方形ABCD中，边长AB＝3，⊙O与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为R、r，则R+r=．三、解答题13.（2015•宝应县二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为多少cm？14．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APB的度数；（2）图②中，∠APB的度数是，图③中∠APB的度数是；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.（1）设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m|越小，该正n边形就越接近于圆，①若n=20，则该正n边形的“接近度”等于；②当“接近度”等于时，正n边形就成了圆．（2）设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正n边形就越接近于圆.你认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正n边形“接近度”的一个合理定义．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；【解析】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD=OC+OD；在直角△OCD中，∠DOC=60°，则OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：3，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D．2．【答案】A；【解析】所得正六边形边长为1，∴23331642S．3．【答案】D；【解析】易求∠POQ=120°，∠AOP=45°，则∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°.4.【答案】A；【解析】如图（1），∵AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，∴OD＝233．∴31123666243223AODSSADOD．如图（2），∵AB＝AC＝3，∴S4＝3×3＝9．如图（3），∵CD＝2，∴OC＝2，CM＝1，∴OM＝3．∴61121213632COMSS．又∵222(63)9(43)，∴643SSS，故选A．5．【答案】B；【解析】连接OA、OB，过A作AM⊥OB于M，∵360458AOB°°，∴△AOM是等腰直角三角形．又2AO，∴AM＝1，∴11221222AOBSOBAM，∴288422AOBSS，6．【答案】A．【解析】由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为，即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为×=1；做第二次后的正方形的边长为；依次类推可得：第n个正方形的边长是（）n-1，则做第7次后的圆的内接正方形的边长为．故选A．二、填空题7．【答案】4；【解析】设正方形边长为a，则周长为4a，面积为2a，圆周长也为4a，则224ra，∴422aar，∴222244aaSr圆∴22414SaSa圆正方形．8．【答案】1001503；【解析】图中阴影部分面积等于圆的面积减去正六边形的面积．∵210100OS，11053615032S正六边形，∴1001503OSSS阴影正六边形9．【答案】：：1；【解析】设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，（或由勾股定理求）故BC=2BD=R；如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=，故BC=R；如图（三），连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，故AG=OA•cos60°=R，AB=2AG=R，（或由勾股定理求）故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R=：：1．10．【答案】6.【解析】要使△PCD的周长的最小，即PC+PD最小．利用正多边形的性质可得点C关于BE的对称点为点A，连接AD交BE于点P'，那么有P'C=P'A，P'C+P'D=AD最小．又易知ABCD为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60°，则作BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，∵AB=2，∴AM=AB=1，∴AM=DN=1，从而AD=4，故△PCD的周长的最小值为6．11．【答案】（1）r:a＝1:1；32rb::；（2）1234SS:．【解析】如图所示．（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形，所以r:a＝1:1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以32rb::．（2）T1∶T2的边长比是3∶2，所以S1∶S2=4:3):(2ba.所以1234SS:．12.【答案】6-32；【解析】连结OA、OO′、OC‘.（如图所示）∵⊙O与AB，AD相切，⊙O′与BC,CD相切，∴OA平分∠BAD,O′C平分∠BCD,∴∠BAO=∠BCO′=45°，若连结AC,则∠BAC=45°，∴直线OO′与直线AC重合，设⊙O切AB、AD于E、F，⊙O′切BC、CD于G、H．∵⊙O与⊙O′互相外切，∴OO′＝R+r．连接OF、OE、OH、OG，则22OAOFR．同理22OCOHr，∴22(12)()ACRrRrRr．又∵32AC，∴(12)()32Rr，∴3232(21)=6-3212Rr．三、解答题13.【答案与解析】解：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长，∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BD∥HK，且BD=HK，∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×2×=6，∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18．14.【答案与解析】（1）∠APB=120°（如图①）∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN，又∵∠APN=∠BPM，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，∴∠APB=120°；（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．15.【答案与解析】（1）①∵正20边形的每个内角的度数m==162°，∴|180-m|=18；②当“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的正n边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但|R-r|却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为、越小，正n边形越接近于圆；越大，正n边形与圆的形状差异越大；当=1时，正n边形就变成了圆．