7-3二阶线性微分方程理论及解法

7.3二阶线性微分方程理论及解法7.3.1二阶线性微分方程解的性质与结构7.3.2二阶常系数齐次线性微分方程7.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程36-1定义7.3.1形如()(1)110()()()()nnnypxypxypxyfx(7.3.1)的微分方程称为n阶线性微分方程，其中011(),(),,(),()npxpxpxfx都是x的函数．当()fx0时，方程(7.3.1)称为n阶非齐次线性微分方程．当()0fx时,()(1)110()()()0nnnypxypxypxy，(7.3.2)称为n阶齐次线性微分方程，称方程(7.3.2)为对应于方程(7.3.1)(()fx0)的齐次方程．本节，我们以讨论二阶线性微分方程的情形为主，结论可类似推广到n阶线性微分方程情形．2020/2/1136-2(一)二阶齐次线性微分方程解的性质与结构7.3.1二阶线性微分方程解的性质与结构设有二阶齐次线性微分方程()()0yPxyQxy．(7.3.3)2020/2/11性质7.3.1如果函数1()yx与2()yx是方程（7.3.3）的解，那么1122()()yCyxCyx(7.3.4)也是方程（7.3.3）的解，其中C1，C2为任意常数．注：式（7.3.4）形式上有两个任意常数，但未必是方程（7.3.3）的通解．例如1()yx是方程（7.3.3）的解，21()2()yxyx也是方程（7.3.3）的解，则式（7.3.4）为1122121()()(2)()yCyxCyxCCyx，令122CCC，则1()yCyx显然不是方程（7.3.3）的通解．36-3问什么情况下，式（7.3.4）才是方程（7.3.3）的通解呢？为此，引入所谓函数的线性相关与线性无关的概念．定义7.3.2设12(),(),,()nyxyxyx为定义在区间I上的n个函数，如果存在不全为零的n个常数12,,n，使得在该区间I上恒有1122()()()0nnyxyxyx，就称12(),(),,()nyxyxyx在区间I上线性相关；否则称为线性无关．例如，因为21cos22sin0xx，所有函数21cos2,sinxx,在(,)内是线性相关的．又如函数21,xx,在任何区间(,)ab内线性无关．事实上，由21230,(,)xxxab知，1230．2020/2/1136-4对于两个函数12(),()yxyx，由定义7.3.2可知，如果12()()yxyx常数，则12()()yxyx与线性无关；如果12()()yxyx常数，则1()yx与2()yx线性相关．定理7.3.1如果函数1()yx与2()yx是二阶齐次线性微分方程（7.3.3）的两个线性无关的特解，那么1122()()yCyxCyx是方程（7.3.3）的通解，其中12,CC为任意常数．例如，容易验证12()sin,()cosyxxyxx是二阶齐次线性微分方程0yy的两个特解，而12()sintan()cosyxxxyxx常数，故12sincosyCxCx为0yy的通解．2020/2/1136-5(二)二阶非齐次线性微分方程解的性质与结构在介绍一阶线性微分方程的通解时已经知道：一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分组成，一部分是对应的齐次线性微分方程的通解，另一部分是非齐次线性微分方程本身的一个特解．这个结论对二阶及二阶以上的非齐次线性微分方程也适用．定理7.3.2如果*()yx是二阶非齐次线性微分方程()()()yPxyQxyfx(7.3.5)的一个特解，()Yx是与方程（7.3.5）对应的齐次方程()()0yPxyQxy的通解，那么*()()yYxyx是二阶非齐次线性微分方程（7.3.5）的通解.2020/2/1136-6例如，已证明12sincosYCxCx是对应的齐次方程0yy的通解，容易验证*1e2xy是非齐次方程exyy的一个特解，因此由解的结构定理7.3.2知121sincose2xyCxCx为exyy的通解．性质7.3.2如果函数1()yx与2()yx分别是二阶非齐次线性微分方程()()()yPxyQxyfx和二阶齐次线性微分方程()()0yPxyQxy的特解,那么12()()yyxyx是二阶非齐次线性微分方程()()()yPxyQxyfx的一个特解．2020/2/1136-7性质7.3.3如果函数1()yx与2()yx是二阶非齐次线性微分方程()()()yPxyQxyfx的两个特解，那么12()(),yyxyx是对应齐次方程()()0yPxyQxy的一个特解．性质7.3.4(叠加原理)如果**12(),()yxyx分别是二阶非齐次线性微分方程1()()()yPxyQxyfx与2()()()yPxyQxyfx的特解，那么***1122()()()yxyxyx为非齐次线性微分方程1122()()()()yPxyQxyfxfx的特解，其中12,为任意常数（也可以是复数）．2020/2/11特别地***12()()()yxyxyx是12()()()()yPxyQxyfxfx的特解．36-8例7.3.1已知微分方程方程()()()yPxyQxyfx有三个解1yx，223e,e,xxyy求此方程满足初始条件(0)1,(0)3yy的特解．解因为123,,yyy是方程()()()yPxyQxyfx的三个解.由性质7.3.3知2131,yyyy为对应齐次方程()()0yPxyQxy的两个解．因为21231eexxyyxyyx常数，所以2131yyyy与线性无关．从而原方程的通解为212(e)(e)xxyCxCxx．再由初始条件(0)1,(0)3yy，得121,2CC，故所求特解为22eexxy．2020/2/11以上关于二阶齐次、非齐次线性微分方程解的性质及结构定理均可推广到n阶线性微分方程情形．36-9定义7.3.3如果n阶线性微分方程(7.3.1)的系数都是常数，即()(1)110()nnnypypypyfx就称其为n阶常系数线性微分方程，其中110,,,nppp均为常数．如果()fx0，就称上式为n阶常系数非齐次线性微分方程；如果()0fx，就称为对应的n阶常系数齐次线性微分方程．2020/2/117.3.2二阶常系数齐次线性微分方程现在讨论二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题．设二阶常系数齐次线性微分方程为0ypyqy，(7.3.6)式中,pq为常数．36-10根据定理7.3.1，我们只要求出方程(7.3.6)的两个线性无关的特解，就可以得到它的通解．如何去寻找它的两个线性无关的特解呢?从方程（7.3.6）的形式来看，它的特点是,,yyy各乘以常数因子后相加等于零．因此如果能找到一个函数y，y和其一阶导数y，二阶导数y之间只相差常数因子，这样的函数就有可能是方程（7.3.6）的解．2020/2/11在基本初等函数里，指数函数erxy就具有这种特性，因为2e,erxrxyryr，它们和erxy之间只相差r倍和r2倍，因此适当选取r就有可能使erxy是方程（7.3.6）的解．36-11现假设erxy是方程（7.3.6）的解，则它应该满足此方程，代入方程得2eee0rxrxrxrrpq，即2()e0rxrprq．因为e0rx，所以有20rprq．(7.3.7)这就是说，只要r为一元二次方程20rprq的根，则erxy就是方程0ypyqy的解．因此，方程（7.3.6）的求解问题就转化为代数方程的求根问题．称方程（7.3.7）为微分方程（7.3.6）的特征方程．2020/2/1136-12利用求根公式可求出20rprq的两个根21,242ppqr．并且根据,pq的不同取值，我们得到下列三种可能情形．⑴当240pq时，12rr,是两个不相等的实根221244,22ppqppqrr．⑵当240pq时，12rr,是两个相等的实根122prr．⑶当240pq时，12,rr是一对共轭复根1,2ri，其中24,22qpp．2020/2/1136-13⑴当12rr时，方程（7.3.6）有两个不同的特解11erxy及22erxy，因1122()21eeerxrrxrxyy常数，所以1erx与2erx线性无关．由定理7.3.1知，二阶常系数齐次线性微分方程（7.3.6）的通解为1212eerxrxyCC．⑵当12rrr时，只能得到方程（7.3.6）的一个特解1erxy，为了得到方程（7.3.6）的通解，还需求出另一个与1y线性无关的特解2y．由线性无关的定义，应有221()erxyyuxy常数，即2()erxyux是方程（7.3.6）的解．2020/2/1136-14将2()erxyux代入方程（7.3.6），整理后得2[()2()()][()()]()0uxruxruxpuxruxqux，即2()(2)()()()0uxrpuxrprqux．因为r是特征方程的二重根，因此20rprq，且20rp，所以()0ux．由于只需求一个不为常数的函数()ux，故可取().uxx．因此得到方程（7.3.6）的另外一个特解2erxyx，且2erxyx与1erxy线性无关，故由定理7.3.1知方程（7.3.6）的通解为12()erxyCCx．2020/2/1136-15但由于它们为复数形式，可由欧拉公式（13.6.2）得方程（7.3.6）的两个实数解：12ecos,esin.xxyxyx．且ecoscotesinxxxxx常数，所以ecos,esinxxxx为方程（7.3.6）的两个线性无关的特解．由定理7.3.1可知方程（7.3.6）的通解为12(cossin)exyCxCx．2020/2/11⑶当1,2ir时，我们得到方程（7.3.6）的两个线性无关的特解()eαβix和()eαβix．36-16求二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy的通解的步骤为：（1）写出微分方程的特征方程20rprq；（2）求出特征方程的根12,rr；（3）根据12,rr的不同情况，按照下表写出微分方程的通解．2020/2/11特征方程20rprq的根微分方程0ypyqy的通解两个不相等的实根12,rr1212eerxrxyCC两个相等的实根12rrr12()erxyCCx一对共轭复根1,2ir12e(cossin)xyCxCx其中12,CC为任意常数．36-17例7.3.2求下列微分方程的通解(1)20yyy；(2)0yyy；(3)690yyy．解(1)特征方程为220rr，其根为121,2rr，故通解为212eexxyCC．2020/2/11⑵特征方程为210rr，其根为1,213i22r，故通解为21233e(cossin)22xyCxCx．⑶特征方程为2690rr，其根为123rr，故通解为312()exyCCx.36-18例7.3.3求微分方程250yyy满足初始条件00|0,|1xxyy的特解．由初始条件0|0xy得10C，于是2esin2xyCx，从而2(esin22ecos2)xxyCxx