7-3估计量的评选标准

第三节估计量的评选标准一、问题的提出二、无偏性三、有效性四、相合性五、小结的最大似然估计量ba,,minˆ1iniXa.maxˆ1iniXb.,,,,,,,,],[21的最大似然估计量求的一个样本值是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体baXxxxbabaXna,b的矩估计量分别为)(3ˆ2121AAAa,)(312niiXXnX)(3ˆ2121AAAb.)(312niiXXnX.,,),,,(,,,],[21的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体baXXXXbabaXn一、问题的提出从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,而且,很明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准.二、无偏性的一个样本，为总体若XXXXn,,,21,的分布中的待估参数是包含在总体X)(的取值范围是.ˆ,)ˆ(,)ˆ(),,,(ˆ21的无偏估计量是则称有且对于任意存在的数学期望若估计量EEXXXn无偏估计的实际意义:无系统误差..1,,,,,)1()(121的无偏估计阶总体矩是阶样本矩总体服从什么分布论的一个样本，试证明不是又设存在阶矩的设总体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX证同分布，与因为XXXXn,,,21)()(kkiXEXE故有.,,2,1,niknikikXEnAE1)(1)(即.k例1.的无偏估计阶总体矩是阶样本矩故kkkAk特别的:.)(1估计量的无偏的数学期望总是总体XEXX不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,).()(1ˆ,,,0,122222即不是无偏估计有偏的是的估计量则均为未知若都存在的总体方差对于均值niiXXn证niiXXn12221ˆ,22XA22)(AE因为,2222)]([)()(XEXDXE又因为,22n)()ˆ(222XAEE所以)()(22XEAE例2,122nn.ˆ2是有偏的所以.,ˆ12偏的所得到的估计量就是无乘若以nn(这种方法称为无偏化)..)ˆ(1ˆ1222EnnnnE22ˆ1Snn因为,)(1112niiXXn,22的无偏估计是即S.22的估计量作故通常取S.),,,max(12,,,0,,][0,2121的无偏估计都是和的样本，试证明是来自总体参数上服从均匀分布在设总体nnXXXnnXXXXXX证)(2)2(XEXE因为)(2XE,22.2的无偏估计量是所以X的概率密度为因为),,,max(21nXXXZ其他,0,0,)(1znzzfnn例3znzzZEnnd)(01所以,1nn,1ZnnE故有.),,,max(121的无偏估计量也是故nXXXnn.)],,,[min(,,,,0,.,0,0,e1);(,2121的无偏估计都是和试证样本的是来自总体又设其中参数其他概率密度的指数分布服从参数为设总体nnxXXXnnZXXXXXxxfX证明)(XE因为,)(XE.的无偏估计量是所以X例4,),,,min(21的指数分布服从参数为而nXXXZn.,0,0,e);(min其他概率密度xnxfnx,)(nZE故知,)(nZE.的无偏估计量也是所以nZ由以上两例可知,一个参数可以有不同的无偏估计量.三、有效性.ˆˆ,ˆˆ,,ˆˆ212121有效较则认为更密集的附近较的观察值在真值相同的情况下在样本容量如果和的两个无偏估计量比较参数n由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好..ˆˆ),ˆ()ˆ(,),,,(ˆˆ),,,(ˆˆ212121222111有效较则称若有的无偏估计量都是与设DDXXXXXXnn.,1有效较的无偏估计量时试证当nZXn证明,)(2XD由于,)(2nXD故有,)(22nZD又因为,)(2nZD故有,1时当n),()(XDnZD.有效较的无偏估计量故nZX例5(续例4).ˆˆ,2,},,,max{1ˆ2ˆ4122121有效较时现证当计量的无偏估都是和中已证明在例nXXXnnXn证明)(4)ˆ(1XDD由于,3)(42nXDnZnnDD1)ˆ(2,12ZDnn,1)(nnZE又因为例6(续例3)zznZEnnd)(102,22nn22)]([)()(ZEZEZD,)2()1(22nnn,)2(1)ˆ(22nnD故),ˆ()ˆ(,212DDn所以又.ˆˆ12有效较四、相合性.ˆ,),,,(ˆ,,,),,,(ˆˆ2121的相合估计量为则称依概率收敛于时当若对于任意的估计量为参数若nnXXXnXXX例如,)()1(,的相合估计量阶矩的总体阶矩是样本由第六章第二节知kkXEkXkk.),,,()ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ,),,,,(212121的相合估计量是的矩估计量则函数为连续其中进而若待估参数nnnAAAgggg五、小结估计量的评选的三个标准无偏性有效性相合性相合性是对估计量的一个基本要求,不具备相合性的估计量是不予以考虑的.由最大似然估计法得到的估计量,在一定条件下也具有相合性.