基本不等式

课题:§3.4基本不等式不等关系吗？或图中找出一些相等关系＂设计的．你能在这个图古代数学家赵爽的＂弦会标，会标是根据中国的２４届国际数学家大会上图是在北京召开的第一、新课引入ADBCEFGHab22ab不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取“=”号）公式两边具有何种运算结构？数的角度:平方和不小于积的2倍a2+b22ab如果用去替换a、b,前提是什么？能得到什么结论?若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取“=”号）,ab那么a2+b2≥2ab那么a+b≥2（当且仅当a=b时，取“=”号）若a∈R,b∈R若a0b0ab（当且仅当a=b时，取“=”号）2ab0,0,2ababab若那么ab基本不等式的重要变形公式当a0,b0时abbabaab2)2()2()1(2当且仅当a=b时等号成立把叫做a,b的算术平均数，把叫做a,b的几何平均数。abababab把叫做a,b的算术平均数，把叫做a,b的几何平均数。ab把叫做a,b的算术平均数，把叫做a,b的几何平均数。ab把叫做a,b的算术平均数，把叫做a,b的几何平均数。ab熟悉运算结构从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系。11,,()()4abRabab1.已知求证：，并推导出等号成立的条件。应用一：证明不等式基本不等式的应用,,,,()()4abcdabcdacbdabcd2.已知都是正实数求证：，并推导出等号成立的条件。223333,,,,(1)()()()8(2)()()()8abcxyxyxyxyxyabbccaabc已知均为正数，求证练习：证明不等式22222(1)121(2)2(0)22(3)22(4),,,51,1,lglglgababxxxxxabcRabcabbccaxyxyxy求证：（）已知求证：24624:,0.3mmm求证已知).3(734:)(aaa其中求证变式题.9111:,1,,,.4cbacbaRcba求证且已知.8)11)(11)(11(:,1,,,)(cbacbaRcba求证且已知变式题例1．试判断与2的大小关系？如果将条件“x0”去掉，上述结论是否仍然成立？1(0)xxx基本不等式的应用应用二：判断代数式的大小关系变式1．试判断与2的大小关系？在结论成立的基础上，条件“a0,b0”可以变化吗？(0,0)baabab变式2．试判断与1的大小关系？(2)(02)xxx例2．甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场采取的促销方式是在原价p折的基础上再打q折；乙商场的促销方式则是两次都打折.对顾客而言，哪种打折方式更合算？(0p10,0q10,p≠q)2pq练习2：若，则（）（1）（2）（3）B练习1：设a0，b0，给出下列不等式其中恒成立的。21)1(aa4)1)(1)(2(bbaa4)11)()(3(baba2111)4(22aa,lglg,1baPba)2lg(),lg(lg21baRbaQQPRA、RQPB、QPRC、RQPD、223.0,0,,,,222,.11abababABCabDABCDab若设则、、、的大小关系是ABCD例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用三：求最值已知都是正数，（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值yx,yxyxyxP2yx241Sxy（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误小结：利用求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabbaxy1.调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关例1.已知45x求函数54414xxy的最值。同步检测1.求函数的值域。xxy3212.拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关（变形构造出“定值”是难点其方法如下）（1）变形法例2.求函数)(1222Rxxxy的最小值。（2）配凑法（凑系数、凑项）例3.已知3x求函数的最小值。382xxy同步检测时当40.1x的最大值求)28(xxy3.分离常数（1）拆项法时当1x例4.的最小值求1132xxxy（2）倒数法例5.0x若的最大值求函数12xxxy（3）平方法例6.2521x若的最大值求函数xxy2512的值域≠求)1(11072xxxxy同步检测4、整体代换1200baba，，若的最小值求bat11例7.5.化归转化，寻求相等，过第三关的值域求函数xxy410x若例8.本节小结一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；二、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：互为相反数、互为倒数）三、不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；把握平均值不等式成立的三个条件10,0?xyxxx(1)已知求的最值.若呢练习：225(3).4xyx求函数的最小值231(2)(1)1xxyxx求函数的最值.注：当式子中等号不成立时，则不能用此重要不等式，而改用函数单调性求最值。例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？2、(04重庆）已知则xy的最大值是。练习：1、当x0时，的最小值为，此时x=。21xx1)0,0(232yxyx613、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、4、在下列函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、)0,(55xRxxxy)101(lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5yxyx333664318DC例4、求函数的最小值4522xxy构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数的最小值)3(31xxxy构造和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知，求的最大值10x21xx练习：已知且，则最大值是多少？0,0yx2052yxyxlglg