基本不等式求最值问题

第三章第2课时基本不等式应用—最值问题理解领会基本不等式成立时的三个限制条件，熟练应用基本不等式求解实际问题中的最大、最小值问题．1．分析下列各题的解题过程，有错误的加以更正．(1)求函数y＝sinx＋2sinx(0xπ2)的值域．解：y＝sin＋2sinx≥2sinx·2sinx＝22，∴函数的值域为[22，＋∞)．(2)求x1－x2的最大值．解：令y＝x1－x2，则y＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12，等号在x2＝1－x2，即x＝±22时成立，∴所求最大值为12.(3)已知a＞3，求a＋4a－3的最小值．解：∵a＞3，∴a，4a－3＞0.∴a＋4a－3≥2a·4a－3.当a＝4a－3，即a＝4时，a＋4a－3取最小值24aa－3＝8.[解析](1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式求最值时，等号成立的条件．正解：∵0＜x＜π2，∴0＜sinx＜1，但sinx＝2sinx时sinx＝2，不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条件，因此取不到值y＝22.令u＝sinx，∵0xπ2，，0u1，∴可利用y＝u＋2u在(0,1)上是减函数得出y＞3.∴此函数值域为(3，＋∞)．(2)此解答过程错误，当x0时，y＝x1－x2≠x21－x2，忽视了对符号的关注．正解：由1－x2≥0知－1≤x≤1，当0＜x≤1时，x1－x2＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12，等号在x2＝1－x2即x＝22时成立；当x＝0时，x1－x2＝0，当－1≤x＜0时，x1－x2＜0，∴x1－x2的最大值为12.(3)此解答过程不对，它没有找出定值条件，只是形式的套用公式．正解：利用a＞3的条件及结构式中一为分式，一为整式的特点配凑：a＋4a－3＝(a－3)＋4a－3＋3≥2a－3·4a－3＋3＝7，等号在a－3＝4a－3即a＝5时成立．重点：基本不等式的应用．难点：将实际问题化为不等式问题．1．基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等式求最值时一定要注意其“一正、二定、三相等”的条件，实际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因式”．2．由基本不等式导出的结论．(1)反向不等式：a＋b≤2a2＋b2(a，b∈R＋)，由a2＋b2≥2ab，两边同加上a2＋b2得2(a2＋b2)≥(a＋b)2开方即得．(2)ab≤(a＋b2)2，(a，b∈R＋)，由a＋b2≥ab两边平方即得．(3)一个重要不等式链：b≥a＞0时，b≥a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b＝21a＋1b≥a.3．注意函数f(x)＝x＋1x是常遇到的一个函数，根据基本不等式知，x＞0时，f(x)≥2，x＜0时，f(x)≤－2，其值域为(－∞，－2]∪[2、＋∞)．另外其单调性为：在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0)上单调递减，(0,1]上单调递减，[1，＋∞)上单调递记忆方法是|x|很大(|x|＞1)时，1x可忽略，其单调性与y＝x单调性相同，|x|很小(|x|＜1)时，x可忽略，其单调性与y＝1x单调性同．进而可扩展到f(x)＝x＋kx(k＞0)的情形．命题方向变形技巧：“1”的代换[例1]已知正数x，y满足x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．[分析]灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式“乘以1”，“除以1”或将不等式中的某个常数用等于1的式子代替．本例中可将分子中的1用x＋2y代替，也可以将式子1x＋1y乘以x＋2y.[解析]∵x，y为正数，且x＋2y＝1.∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋22.[点评](1)本题若由1＝x＋2y≥22xy，得1xy≥22，∴1x＋1y≥21xy＝2xy≥42则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等式成立的条件是x＝2y＝12，后一个不等式则是在x＝y时成立．(2)也可以直接将1x＋1y的分子1代换为x＋2y，和乘以“1”是相同的．巩固练习已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[分析]要求x＋y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元”等．[解析]解法1：(1的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy.∵x＞0，y＞0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.解法2：(消元法)由1x＋9y＝1，得x＝yy－9.∵x＞0，y＞0，∴y＞9.x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.∵y＞9，∴y－9＞0，∴y－9＋9y－9≥2y－9·9y－9＝6.当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号，此时，x＝4，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.解法3：(配凑法)由1x＋9y＝1得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2x－1y－9＝16.当且仅当x－1＝y－9时取等号．又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.[点评]本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法2，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制．(消去x后，原来x的限制条件，应当由代替它的y来“接班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)命题方向变形技巧：拆项与配凑[例2]y＝x2＋4x＋1(x－1)的值域为________．[分析]分子是x的二次式，分母是一次式，适当将分子变形可化为x＋1的表达式或由分母构造平方差，则可化为“积为定值”的和式．[解析]y＝x2＋4x＋1＝x＋12－2x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－2≥25－2(x＋10)，等号在x＋1＝5x＋1，即x＝5－1时成立，∴函数的值域为[25－2，＋∞)．[点评]还可以如下进行y＝x2＋4x＋1＝x2－1＋5x＋1＝x－1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－2.巩固练习已知正数x、y满足4x＋9y＝1，则xy有()A．最小值12B．最大值12C．最小值144D．最大值144[答案]C[解析]解法1：∵x，y∈R＋，∴1＝4x＋9y≥236xy＝121xy，∴xy≥144.等号在4x＝9y＝12，即x＝8，y＝18时成立．解法2：xy＝xy·1＝xy·(4x＋9y)＝4y＋9x≥4y·9x＝12xy，∴xy≥144.等号在4y＝9x4x＋9y＝1即x＝8，y＝18时成立，故选C.解法3：(消元法)由4x＋9y＝1得y＝9xx－4，∵y0，x0，∴x－40，∴xy＝9x2x－4＝9·x2－16＋16x－4＝9·(x－4＋16x－4＋8)≥9(2x－4·16x－4＋8)＝144.等号在x－4＝16x－4，即x＝8时成立，此时y＝9×88－4＝18，∴xy的最大值为144.[例3](1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的周长最小？(2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？[解析]设扇形中心角为θ，半径r，面积s，弧长l，则s＝12lr＝12θr2，l＝rθ.(1)s为定值，则θ＝2sr2，∴扇形周长p＝2r＋l＝2r＋rθ＝2r＋2sr≥4s.等号在r＝sr即r＝s时成立，∴半径是s时扇形周长最小．(2)周长p＝2r＋rθ一定，∴θ＝pr－2，面积s＝12θr2＝12r(p－2r)＝r(p2－r)≤[r＋p2－r2]2＝p216，等号在r＝p2－r即r＝p4时成立，∴半径r＝p4时，面积最大．练习如图，设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把它沿AC折起来，AB折过去后，交DC于点P.设AB＝x，求△ADP的最大面积及相应的x值．[分析]要求△ADP的最大面积，首先要写出△ADP的面积表达式．由于AD＝12－x，关键是要将DP用x表示出来．从图中看到，DP＝PB′，AP＝x－DP，于是在△ADP中运用勾股定理，可以将DP用x表示出来．[解析]如图，因为AB＝x，所以AD＝12－x.又DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP.由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，整理得DP＝12－72x.因此△ADP的面积S＝12AD·DP＝12(12－x)·12－72x＝108－6x＋432x.∵x＞0，∴6x＋432x≥26x·432x＝722.∴S＝108－6x＋432x≤108－722.当且仅当6x＝432x时，即当x＝62时，S有最大值108－722.答：当x＝62时，△ADP的面积有最大值108－722.命题方向综合应用[例4]设a＞b＞c，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，则m的取值范围是__________．[答案](－∞，4][分析]由a＞b＞c知：a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.因此，不等式等价于a－ca－b＋a－cb－c≥m，要使原不等式恒成立，只需a－ca－b＋a－cb－c的最小值不小于m即可．[解析]∵a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4.当且仅当b－ca－b＝a－bb－c，即2b＝a＋c时，等号成立．∴m≤4，即m∈(－∞，4]．[点评](1)分离m以后，注意到a－c＝(a－b)＋(b－c)是求解a－ca－b＋a－cb－c的最小值的关键．(2)注意到a＞b＞c.及式子1a－b＋1b－c≥ma－c中分母都是多项式略嫌复杂，可换元简化．令x＝a－b＞0，y＝b－c＞0.则a－c＝x＋y.∴1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，即：1x＋1y≥mx＋y恒成立．即：m≤(x＋y)(1x＋1y)恒成立．∵(x＋y)(1x＋1y)＝2＋yx＋xy≥2＋2yx·xy＝4等号在x＝y即a－b＝b－c也就是b＝a＋c2时成立．∴m≤4时原表达式恒成立．这样我们通过换元，简化了表达式，暴露了条件式的实质，拓展了解题的思路，要认真体会．[例5]已知a0，b0，且1a＋9b＝1，求a＋b的最小值．[错解]∵a0，b0∴1a＋9b≥29ab＝61ab，∴61ab≤1，∴1ab≤136，∴ab≥36.∴a＋b≥2ab≥12.∴a＋b的最小值为12.[辨析]上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为1a＝9b，即b＝9a，第二次等号成立的条件为a＝b，故a＋b取不到最小值12.[正解]∵a0，b0，1a＋9b＝1，∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b)＝1＋9＋ba＋9ab≥10＋2ba·9ab＝10＋2×3＝16.当且仅当1a＝9ab，即b2＝9a2时等号成立．由b2＝9a21a＋9b＝1，解得a＝4，b＝12.故当a＝4，b＝12时，a＋b取最小值16.一、选择题1．已知x＞1，y＞1且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2B.12C.14D．4[答案]D[解析]∵x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0，∴lgx·lgy≤(lgx＋lgy2)2＝(42)2＝4，等号在lgx＝lgy＝2即，x＝y＝100时成立．2．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是()A．10B．63C．46D．183[答案]D[解析]∵3x＞0,3y0.x＋y＝5，∴3x＋3y≥23x·3y＝23x＋y＝235＝183，等号在3x＝3y，即x＝y＝52时成立．二、填空题3．若－4＜x＜1，则x2－2x＋22x－2的最大值为_____