三角形内角和定理

《数学》(北师大.八年级上册)你还记得上节课学过的常见公理及证明、证明的步骤吗？2.线段公理：两点之间线段最短。公理：人们在长期实践中总结出的大家公认为正确的道理,叫做公理。1.直线公理：两点确定一条直线。3.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。4.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。5.平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。6.三角形全等的判断公理：SASASASSS。9.全等三角形性质公理：对应角相等，对应边相等。10：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.证明的一般步骤：第一步：分析条件、结论，画出图形．第二步：根据条件、结论、结合图形，写出已知、求证。第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，第四步：结合图形，写出证明过程．证明：运用学过的公理、定理、定义、性质,用推理的方法判定一个命题是真命题的过程叫证明三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：“我的体积比你大，所以我的内角和也比你大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你自己量量看！”蓝用量角器量了量自己的内角和，就不再说话了！同学们，你们知道其中的道理吗？问题1命题：三角形的三个内角和是180°你能验证这个命题吗？你还记得这个结论的探索过程吗?ABC演示下一页123三角形的三个内角和是多少?方法一:将各角沿着某一条直线折叠验证：三角形的三个内角和是180°图1图2图3ABCCBAABBCCBAB(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?.结论：三角形的内角和等于1800.证明：过点A作EF∥BC∴∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）同理∠C=∠1∵∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）∴∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）已知：如图，△ABC.ABCEF求证：∠A+∠B+∠C=180°如果一个图形是三角形那么这个三角形三个内角和是180这里EF称为辅助线,通常画成虚线.∵EF∥BC在这里，为了证明的需要，在原来的图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。思路总结：为了证明三角形三个内角的和为180°,通常应用转化思想。转化为：平角或利用两直线平行，同旁内角互补结论：三角形的内角和等于1800.∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°ABCL证明：过点A作AE∥BC，则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)∵∠1+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)已知:如图6-9,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=1800.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.∴∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∴∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=1800(等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213DABCL结论:三角形的内角和是180°.∵CE∥AB,开启智慧你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角EABCDF图1ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRMABCEDF1234图2……三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.三种语言☞ABC已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,x+3x+5x=180°解得x=20°所以三个内角度数分别为20°,60°,100°。由三角形内角和为180°得3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于E点。则∠B、∠D、∠P之间是否存在一定的大小关系？随堂练习☞ABCPDE他们是怎样的，并加以证明？证明：因为AB∥CD12所以∠1+∠B=1800(两直线平行，同旁内角互补）因为∠2+∠P+∠D=1800（三角形内角和定理）∠1=∠2（对顶角相等）所以∠B=∠P+∠D(等量代换）证明：因为AB∥CD因为∠2+∠P+∠D=1800（三角形内角和定理）3、如图所示，AD、BC相交于O点，若∠A＝35°，∠B＝56°，∠D＝46°，则∠C的度数是（）A、31°B、45°C、41°D、76°ABOCD这种图形称、“又”字型结论：∠A+∠B=∠C+∠DB闯关规则：每一关设置一道题，听到教师口令后再举手抢答（答对有奖哦）！准备好了吗？下面将请出快乐男生王栎鑫与我们一起进入今天的闯关练习。练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。A2A1A5A3A421拓广探究第一关如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。ABCDEF第二关132思维拓展：1、（1）如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？AEABCDAE(甲)EBCDDCB(乙)(丙)第三关相等在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时,∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近1800,当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么?CBACBA第四关回顾与小结本节课里你学到了什么？？？1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180°2、通过思考、探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180°需转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。教科书P180习题7.6第1、2、3、4题．布置作业