大学物理3功和能

第三章功和能§3-1功功率§3-2动能动能定理§3-3势能§3-4功能原理机械能守恒定律§3-5能量守恒定律§3-1功功率功当物体受到力的作用并且沿力的方向举重过程中对杠铃作了功保持姿势时虽很吃力但对杠铃并不作功有一位移时，则该力对物体作了功显然功的单位为焦耳（J）1J=1N·m=1kg·m2/s2sFFssFWcos)cos(力与运动方向的夹角F物体在恒力作用下沿直线运动，位移为sFsF矢量的标积一、恒力的功力的大小和方向不变cosFsW恒力对物体（质点）所作的功为当0≤90°当=90°当90º≤180°0=00二、变力的功质点在变力作用下沿曲线从a点运动到b点)(rF曲线上各小段对应的,,,,21irrr在各小段上质点受力视为恒力,,,,21iFFF可视为直线段可视为恒力iriFiab1Δr2Δr1F2F3F3ΔriiiiiirFrFWcos在位移中力的元功为iriF位移分别为从a点运动到b点力作的功近似等于各元功之和iiiiirFWW0ΔmaxirbaiiirFrFWdlim0当力作的总功为)(rFFabOrrrdarbrrd通常质点的元位移表示为rd则力作的总功为)(rFbarFWdbabarFrFWdcosd质点位移时，位矢由变为，则rrrdrd1.质点曲线运动时恒力作的功FabOrrrdarbrrds)(dabbarrFrFW恒力与位置无关2.质点直线运动时变力所作的功结果表明作的功与路径无关baxxbaxxFrFWdcos)(d)(xFixrddxaxxbxsFabF3.合力的功在运动过程，质点受几个力的作用，合力FFFF合力的功为barFWd即合力的功等于各个分力的功的代数和bababarFrFrFddd321321注意：功是标量，有正负：力对物体作正功时当00cos20W力对物体作负功时当00cos2W力对物体不作功时当00cos2W三、功率功率的单位为焦耳每秒，即瓦特，简称瓦（W）vFtrFtWPddddJ/s1W1平均功率瞬时功率tWP功率恒定时，速度越快，驱动力、牵引力越小表示作功快慢的物理量解例题3-1恒力将质量为15kg的物体以匀速vF因为物体作匀速运动，mgmgFcosNmgFFNf1cos,1.0tansinFNFfFgmcosmgsinmg作用于物体的合力为零，故山坡的支承力拉力重力摩擦力F的各力所作的功，(2)合力的功，(3)力的功率。的动摩擦因数=0.2，求(1)在1min内作用于物体=5m/s拉上山坡，山坡的斜率为0.1，物体与山坡间mgθμθmgμmgFsinsin在1min内物体移动的距离为s=60×5m=300m（1）力的功为FJ1032.1sin4mgsWF重力的功为摩擦力的功为J104.4sin3mgsWmgJ108.83fmgsWF0NFW压力的功为NF（2）合力的功为W=WF+Wmg+WFf+WFN=0（3）力的功率为FW221sinvvmgFP例题3-2用F=10N的恒力通过轻绳和轻滑轮沿解取如图所示的坐标轴Ax，设由位置A到滑cothLxFhFAxBCx3037为x处时，由几何关系可得轮正下方位置C间的距离为L，当重物移动到坐标的过程中，求力F所作的功。间和轮轴处的摩擦，在将重物由位置A拉到位置B光滑水平面拉动重物，高度h=2m，不计绳与滑轮21dsincosdcos2FhxFWBA重物沿水平移动的过程中，恒力沿绳作用在重物F微分得dsindcscd22hhxF功，则由A到B的过程中力所作的功为FcosF物所作的功等于的水平方向分量所作的FF上的力的方向随变化，是一变力。恒力对重J77.6sin1sin1sinsind21221FhFh石磨一、动能能量就是物体作功的能力或作功的本领运动的物体具有作功的能力，物体由于运动运动的物体才有动能§3-2动能动能定理物体速度越大动能也越大2k21vmE以速度运动的质量为m物体的动能为v风作功1931年美国的一场龙卷风将一列火车卷起后抛到沟里而具有的能量称为动能二、动能定理外力对物体作功与物体动能变化有何关系？物体m在合外力作用下，从a点运动到b点，F因为vvddtmsF1k2k21222121d21EEmmmWvvvvvvbabasFsFWddtab1v2vFtFsdmtmFddtvtsddv则末动能初动能合外力对物体所作的功等于物体动能的增量动能定理合外力作的功为合外力对物体作负功（W0）合外力对物体作正功（W0）k1k2EEk1k2EE能量的单位是焦耳（J）动能定理是由牛顿第二定律推出的运用动能定理解题比较方便：此功总是等于物体末动能和初动能之差只要求出该过程中合外力所作的功不必考虑物体运动过程和作用力的性质（物体克服外力作功）物体的动能减少物体的动能增加例题3-3长为1m的细线上端固定，下端悬挂解小球的初速度为零而重力是恒力，得悬线的张力FT始终与小球的路径垂直，故不作功在平衡位置A附近来回运动gm在重力及张力FT作用下角时小球的速度。成45º角的位置后放手，求悬线与竖直方向成10º质量为2kg的小球，拉开小球到悬线与竖直方向45gmTFACBB'C'sO因小球的初动能为零，在位置C的动能为221vm)45cos(cos212mglmvm/s33.2)45cos(cos2glvθmgBCsmgWcos10当时，得由动能定理得BOCOmgCBmg45coscosmgl由若干个物体组成的系统，由于系统中各物§3-3势能打桩机的重锤作功射箭时张紧的弦线作功弹性势能重力势能势能体间的相互作用以及相对位置而具有的能量称为bamgymgyW一、重力的功及重力的特性mghmgabsgmWcosa、b两点间高度差bayyh则重力的特性：在重力作用下，物体沿gm结论：yxaybyabshgmc可看成恒力O与经过的路径无关重力作的功仅与物体初末位置有关重力作功为s为，根据恒力作功表达式，曲线acb由a运动到b，位移重力的特性：bdaacbacbda沿任意闭合路径acbdabamgymgyW结论：物体沿曲线adb由a运动到b，位移仍为syxaybyabshgmcdO重力作的功也仍为运动一周时，重力作的功为运动一周时，重力所作的功为零0)()(abbayymgyymg物体在重力场中沿任意闭合路径二、重力势能在重力场中，物体从abaabmgymgyW势能)(ppppabbaabEEEEW和分别为物体在ab点时的重力势能aEpbEpyxaybyabhgmbabamgymgyEEpp重力的功点运动到b点，重力的功为置的重力势能之差物体在a点和b点这两个位重力的功定义为重力的功等于重力势能增量的负值重力势能的零点mghWEEEaaa地地ppp通常取地面为势能零点h地面amghEap0地E两个位置之间物体重力势能之差有绝对意义重力势能属于质点与地球所组成的系统注意：而在某一位置的重力势能只有相对意义则物体在地面上高为h处的势能为必须取定势能的零点为了确定物体在某一位置的重力势能三、保守力和非保守力一般势能概念保守力或对沿任意闭合路径运动一周的物体所作的功非保守力重力、弹性力、万有引力和静电力均为保守力如摩擦力、汽车的牵引力等重力场中的宇航员静电场与物体的初末位置有关，与路径无关的力为零的力使物体从一点移至另一点所作的功仅力所作的功与路径有关保守力的势能)(ppppabbaabEEEEW点，则物体在任一位置a的势零点零点aaasFWEdp保守力的功保守力abaEpbEpabWF为了确定物体在某位置的保守力的势能零点势能，必须选取适当的势能零保守力所作的功等于势能增量的负值在保守力场中物体从a点运动到b点，能为四、弹性力作的功弹性势能)(21dd22baxxabxxkxkxsFWbakxF物体从xa点运动到xb点，弹性力作功为kmOxaxxbxF根据胡克定律，弹簧的弹性力x为弹簧形变量的大小选弹簧无形变时物体的位置20p21dkxxkxEx弹性力作的功等于弹性势能增量的负值)(21)(22ppbaababxxkEEW关，则弹性力为保守力，可引入弹性势能物体在任意位置的弹性势能等于（即x=0）为弹性势能零点结果表明：弹性力作的功仅与初末位置有关，与路径无rrMmGrrrMmGF3020现m沿曲线L从a→b,万有引所作的功为：barrabsrrMmGWd)(30五、万有引力作的功引力势能rr设质量为M、m的物体（视为质点）间有万有引力，现以质量为M的物体为坐标原点,质量为m的物体的位矢为,方向的单位矢为,的方向为的负向，rrFFbarrrrrMmGd30)11(0barrMmGdrdsdsrsdrcoscos而sdabmarbrdr0MFθ引入引力势能，即)(ppppabbaabEEEEW选无穷远点为势能零点，质点m在任一位置rmmGrrrmmGEr030pd注意：势能属于相互作用物体组成的系统势能是位置状态的函数，Ep=Ep(x,y,z)势能是相对的，但其差值与参考点的选择无关万有引力所作的功等于引力势能增量的负值引力势能为一、质点系的动能定理速度由变为，内外力所作的功分别为及0iviv)(iW内,3,2,12121202)()(immWWiiiiiivv内外§3-4功能原理机械能守恒定律外力内力对质点系内所有物体求和，得iiiiiiiiiimmWW202)()(2121vv内外质点系内物体受系统外物体的作用质点系内物体的相互作用)(iW外，由动能定理得质点系中第i个物体质量为mi，在一段时间内iiimE22k21viiimE201k21v质点系的末动能质点系的初动能作用于质点系的一切外力及内力的功的代数和质点系的动能定理k1k2)()(EEWWiiii内外等于质点系动能的增量二、功能原理内力可分为保守内力和非保守内力1k2kEE保内非保内外保守内力的功等于势能增量的负值质点系的动能定理k1k2)()(EEWWiiii内外)(1p2pEEW保内pkEE质点系的机械能质点系的机械能的增量)()(1p1k2p2kEEEE)()(1p2p1k2kEEEEWW非保内外功能原理外力的功与非保守内力的功之和等于从功能原理可以看出:功与能量密切联系,功是能量变化的度量,作功是能量传递的方式,功是过程量。注意功和能的区别与联系：功是过程量，能量是状态量；物体在任何状态下都有能量，但是只有在能量变化时才有功；二者用相同的单位。三、机械能守恒定律如果质点系没有受外力及非保守内力作用或pkpkEEEE如果质点系没有受外力及非保守内力作用或外定律适用条件外力与非保守内力所作的功均为零，则有外力与非保守内力所作的功均为零机械能守恒定律与