一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题

一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题(一)一元二次方程的一般形式：002acbxax其中cba,,为常数，x为未知数。根的判别式：acb42一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：0时，方程①无实根；0时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根；abx20时，方程①有两个不相等的实根。aacbbx2422,1（二）二次函数的一般形式：形如abacabayacbxaxy442x0222其中cba,,为常数，x为自变量。顶点坐标为abacabP44,22，其中直线abx2为对称轴，1、（1）0a时，函数cbxaxy2的图象开口向下，函数cbxaxy2在abx2取到最大值，即abacy442max，对任意abacyRx44,2.（2）0a时，函数cbxaxy2的图象开口向上，函数cbxaxy2在abx2取到最小值，即abacy442min，对任意abacyRx44,2.2、二次函数02acbxaxy与x轴交点个数的判断：0时，函数02acbxaxy与x轴无交点；0时，函数02acbxaxy与x轴相切，有且只有一个交点；0时，函数02acbxaxy与x轴有两个交点。3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a的正负）、对称轴、.（三）一元二次不等式的概念：形如002acbxax其中连接cbxax2与0的不等号可以是,，，或.（四）三个两次之间的关系一元二次方程、一元二次不等式、二次函数000cbxaxy20a图象02cbxax0a根21xxxx或abxx221无解02cbxax0a解集21xxxxx或abxx2R02cbxax0a解集21xxxx基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）【典型例题】【类型一】一元二次方程002acbxax的解法【方法一】求根公式法步骤：①计算；②若0，则方程无实根；若0，利用求根公式aacbbx2422,1.【例1】求解下列方程.（1）0442xx（2）0122xx【练习】解下列方程.（1）03522xx（2）862xx【方法二】十字相乘法△三个二次x1x2x1=x2利用十字相乘法求解方程002acbxax的前提条件是：0，也就是保证方程002acbxax必须有实根.十字分解依据：对于方程002acbxax而言，cba,,均为整数。当0ac时，将ac分解为两个约数之和为b；当0ac时，将ac分解为两个约数之差为b或b.【例2】求解下列方程（1）0862xx（2）01522xx【练习】解下列方程（1）2082xx（2）02522xx【类型二】二次函数最值的求法【方法一】公式法①0a时，函数cbxaxy2在abx2取到最大值，即abacy442max，对任意abacyRx44,2.②0a时，函数cbxaxy2在abx2取到最小值，即abacy442min，对任意abacyRx44,2.【方法二】配方法222222222abcabxabxacxabxacbxaxyabacabxa44222【例3】求下列函数的最值（1）842xxy（2）5322xxy【类型三】一元二次不等式的解法【例4】解下列不等式（1）02732xx；（2）0262xx【练习】（1）不等式xx4142的解集是.（2）不等式7212xx的解集是.（3）不等式09xx的解集是.【类型四】分式不等式的解法解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）：（有分母就要考虑分母不等于零，有根式就考虑大于等于零）,00)()(xgxfxgxf,000)()(xgxgxfxgxf且,00)()(xgxfxgxf,000)()(xgxgxfxgxf且【例5】解下列不等式（1）11x；（2）0232xx；（3）21xx；（4）03912xx1.解下列方程（1）862xx（2）021152xx（3）02732xx（4）062xx2.不等式0161632xx的解集是.3.不等式1121xx的解集是.4.不等式0752xx的解集是.5.不等式01442xx的解集是.6.解下列不等式或方程（1）01522xx；（2）01662xx；（3）08232xx；（4）0542xx；（5）31xx；（6）52x；7.已知集合01662xxxA，集合11422xxyyB，则下列式子中正确的是（）BAA.ABB.BAC.AD.B