三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

和差化积和积化和差公式正弦、余弦的和差化积2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos【注意右式前的负号】证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么2，2把α，β的值代入，即得sinθ+sinφ=2sin2cos2正切和差化积tanα±tanβ=coscos)sin(cotα±cotβ=sinsin)sin(tanα+cotβ=sincos)cos(tanα-cotβ=sincos)cos(证明：左边=tanα±tanβ=cossincossin=coscossincoscossin=coscos)sin(=右边在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次记忆口诀（正弦余弦）正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦生动的口诀：帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂积化和差公式2coscossinsin（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）或写作：2coscossinsin（注意：此时公式前有负号）2coscoscoscos2sinsincossin2sinsinsincos证明积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：sinsin221sinsin2sinsincoscossinsincoscoscoscos21其他的3个式子也是相同的证明方法。结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2sinα·sinβ故最后需要除以2。使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。