分数阶微积分发展现状及展望

分数阶微积分发展现状及展望在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。(一)、发展历史及现状牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。这是公认的第一次提及分数阶微分。1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。之后刘维尔发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的实际级创始人。1974年，Oldham与Spanier出版了第一本关于分数阶微积分理论的专著。在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，但是从近几十年，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。但是目前分数阶微积分的实际工程应用存在许多障碍，很重要的一个原因是分数阶微积分的数学基础仍未完善。目前就数学领域而言，分数阶微积分存在的主要问题有:多种分数阶微分算子定义形式，在实际应用中都各有优势，尚不能做到统一；在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都具有局限性。在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元；（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。(二)、对未来发展的看法鉴于此目前分数阶微积分发展的现状及主要问题，我认为未来分数阶微积分的发展要抓住几个关键点：（1）分数阶微积分还处在探索阶段，其理论体系还需要进一步扩充和完善。这也是我们方向未来的主要工作。（2）分数阶微积分作为一种新颖的数学工具，在应用来解决物理、力学、生物、信号处理、材料等学科问题还任重而道远。未来要着重于理论研究与实际应用相结合。（3）在数值计算方面应发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。