2018高考数学填空题解答技巧

结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺填空题解答“五字诀”快——运算要快，力戒小题大做细——审题要细，不能粗心大意稳——变形要稳，不可操之过急活——解题要活，不要生搬硬套全——答案要全，避免残缺不齐结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺一、直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等得出正确的结论．[典例](2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[技法演示]先求出sinA，sinC的值，进而求出sinB的值，再利用正弦定理求b的值．因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝45，cosC＝513，所以sinA＝35，sinC＝1213，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.又a＝1，所以由正弦定理得b＝asinBsinA＝6365×53＝2113.[答案]2113结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[应用体验]1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.答案：1结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺2．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x2a2－y29＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.答案：5结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺二、特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论．[典例](2016·山东高考)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[技法演示]法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解．如图，由题意知|AB|＝2b2a，|BC|＝2c，又2|AB|＝3|BC|，∴设|AB|＝6，|BC|＝4，则|AF1|＝3，|F1F2|＝4，∴|AF2|＝5.由双曲线的定义可知，a＝1，c＝2，∴e＝ca＝2.故填2.结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于a，b，c的等式求解．如图，由题意知|AB|＝2b2a，|BC|＝2C．又2|AB|＝3|BC|，∴2×2b2a＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．[答案]2结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[应用体验]3．(2014·安徽高考)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.解析：法一：(特殊值法)由题意知a1，a3，a5成等差数列，a1＋1，a3＋3，a5＋5成等比数列，所以观察可设a1＝5，a3＝3，a5＝1，所以q＝1.故填1.法二：(直接法)因为数列{an}是等差数列，所以可设a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由已知得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得d2＋4d＋4＝0，即d＝－2，所以a3＋3＝a1＋1，即q＝1.答案：1结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺三、数形结合法根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．[典例](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[技法演示]根据直线与圆的位置关系先求出m的值，再结合图象求|CD|.由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝|3m－3|m2＋1.由|AB|＝23得3m－3m2＋12＋(3)2＝12，解得m＝－33.结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6.在Rt△CDE中，可得|CD|＝|AB|cosπ6＝23×23＝4.[答案]4结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[应用体验]解析：画出可行域(如图所示)．∵z＝3x＋y，∴y＝－3x＋z.∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．由x＋y－2＝0，x－2y＋1＝0，解得x＝1，y＝1，即B(1,1)，∴zmax＝3×1＋1＝4.4．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y＋1≤0，2x－y＋2≥0，则z＝3x＋y的最大值为________．答案：4结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)0，得－2x－12，即－1x3.答案：(－1,3)结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺四、等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而得到正确的结果．[典例](2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．[技法演示]利用等比数列通项公式求出首项a1与公比q，再将a1a2…an的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝12.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.故a1a2…an＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝23n·12＝2＝2.记t＝－n22＋7n2＝－12(n2－7n)＝－12n－722＋498，结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝64.[答案]64n－1n23n－n22＋n2－n22＋72n结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[应用体验]6．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－2)，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)＞f(2)，∴2|a－1|＜2＝2，∴|a－1|＜12，即－12＜a－1＜12，即12＜a＜32.答案：12，3212结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺7．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时yx最大．由x＝1，x＋y－4＝0，得x＝1，y＝3.∴A(1,3)．∴yx的最大值为3.答案：3结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺五、构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识和解决问题．[典例](2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.[技法演示]先构造等比数列，再进一步利用通项公式求解．∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋12＝3Sn＋12，∴数列Sn＋12是公比为3的等比数列，结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺∴S2＋12S1＋12＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋12＝S1＋12×34＝32×34＝2432，∴S5＝121.[答案]1121结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[应用体验]8．(2016·浙江高考)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．解析：由于e是任意单位向量，可设e＝a＋b|a＋b|，则|a·e|＋|b·e|＝a·a＋b|a＋b|＋b·a＋b|a＋b|≥a·a＋b|a＋b|＋b·a＋b|a＋b|＝a＋b·a＋b|a＋b|＝|a＋b|.结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺∵|a·e|＋|b·e|≤6，∴|a＋b|≤6，∴(a＋b)2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6.∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6，∴a·b≤12，∴a·b的最大值为12.答案：12结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺六、分析法根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论．[典例](2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[技法演示]先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字．因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.[答案]1和3结束第二部分板块(一)快稳细活填空稳夺[应用体验]9．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A