高中数学-函数图象与性质-知识点总结-精选习题详细答案

-1-课程星级：★★★★一、函数的定义、定义域、值域设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),(在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。函数的三要素：定义域、值域和对应法则二、函数的性质（一）函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集XD。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数f(x)在X上的一个上界。图形特点是yf(x)的图形在直线yK1的下方。如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。图形特点是，函数yf(x)的图形在直线yK2的上方。如果存在正数M，使对任一xX，有|f(x)|M，则称函数f(x)在X上有界;图形特点是，函数yf(x)的图形在直线yM和yM的之间。如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界。函数f(x)无界，就是说对任何M，总存在x1X，使|f(x)|M。例如（1）f(x)sinx在(，)上是有界的：|sinx|1。（2）函数xxf1)(在开区间(0，1)内是无上界的。或者说它在(0，1)内有下界，无上界。这是因为，对于任一M1，总有x1：1101Mx，使Mxxf111)(，所以函数无上界。（3）函数xxf1)(在(1，2)内是有界的。（二）函数的单调性知能梳理-2-（1）设函数yf(x)的定义域为D，区间ID。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。举例：函数yx2在区间(，0]上是单调增加的，在区间[0，)上是单调减少的，在（，）上不是单调的。（2）证明方法和步骤：设元：设21,xx是给定区间上任意两个值，且21xx；作差：)()(21xfxf；变形：（如因式分解、配方等）；定号：即0)()(0)()(2121xfxfxfxf或；根据定义下结论。（3）二次函数的单调性：对函数cbxaxxf2)()0(a，当0a时函数)(xf在对称轴abx2的左侧单调减小，右侧单调增加；当0a时函数)(xf在对称轴abx2的左侧单调增加，右侧单调减小。（4）复合函数的单调性：复合函数))((xgfy在区间),(ba具有单调性的规律见下表：)(ufy增↗减↘)(xgu增↗减↘增↗减↘))((xgfy增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。（5）函数的单调性的应用：判断函数)(xfy的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)”（三）函数的奇偶性（1）设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD，则xD)。如果对于任一xD，有f(x)f(x)，则称f(x)为偶函数。如果对于任一xD，有f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数。-3-举例：yx2，ycosx都是偶函数。yx3，ysinx都是奇函数，ysinxcosx是非奇非偶函数。（2）一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数。可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性。（3）判断函数的奇偶性的等价命题：若对于定义域内任意一个x，有f(x)-f(-x)=0成立，或()1()fxfx（f(x)≠0）成立，则f(x)为偶函数。若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(xf;若对于定义域内任意一个x，有f(x)+f(-x)=0成立，或()1()fxfx（f(x)≠0）成立，则f(x)为奇函数。（4）在几个函数的共同定义域上，若fi(x)为奇函数，gi(x)是偶函数，可知以下几个结论：f1(x)+f2(x)是奇函数，g1(x)。+g2(x)是偶函数，f1(x)f2(x2)是偶函数，g1(x)。g2(x)是偶函数，f(x)g(x)是奇函数。（5）偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。（6）函数奇偶性的判定中”六点”：①勿忘定义域；②勿忘化简解析式；③勿忘分段讨论；④勿忘分类讨论；⑤勿忘等价性；⑥勿忘个别值的特殊性。需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)”（7）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断)()(xfxf或)()(xfxf是否恒成立。②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0fxfx，或()1()fxfx（()0fx）。③图像法：奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。④赋值法（8）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。即：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。-4-③若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx。④若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f。故(0)0f是()fx为奇函数的既不充分也不必要条件。⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0fx，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。⑦常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。（四）函数的周期性（1）对于函数)(xfy，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为T的区间上，函数的图形有相同的形状。（2）常见结论(约定a0)①)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；②()()fxafx－，或()()fxafx－a或)0)(()(1)(xfxfaxf，或1()()fxafx(()0)fx,则)(xf的周期T=2a（五）函数的对称性偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf探讨：（1）函数)(xfy关于ax对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf或)2()(xafxf简证：设点),(11yx在)(xfy上，通过)2()(xafxf可知，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11yx与点),2(11yxa关于x=a对称。得证。若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称（2）函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(-5-bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(简证：设点),(11yx在)(xfy上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2,2(11ybxa也在)(xfy上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称。得证。若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称（3）函数)(xfy关于点by对称:假设函数关于by对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于by对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于y=0对称。需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)”【例】下列判断正确的是（）A.函数22)(2xxxxf是奇函数B.函数1()(1)1xfxxx是偶函数C.函数2()1fxxx是非奇非偶函数D.函数1)(xf既是奇函数又是偶函数答案：C选项A中的2,x而2x有意义，非关于原点对称，选项B中的1,x而1x有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数【例】已知函数1(),3,5,2xfxxx⑴判断函数()fx的单调性，并证明；⑵求函数()fx的最大值和最小值．解：⑴设任取12,[3,5]xx且12xx1212121212113()()()22(2)(2)xxxxfxfxxxxx1235xx12120,(2)(2)0xxxx12()()0fxfx即12()()fxfx精讲精练-6-()fx在[3,5]上为增函数.⑵由⑴知，()fx在[3,5]上为增函数，则max4()(5)7fxfmin2()(3)5fxf【例】一已知()fx为偶函数，()gx为奇函数，且有()fx+1()1gxx，求()fx,()gx.解：∵()fx为偶函数，()gx为奇函数，∴()()fxfx,()()gxgx,不妨用-x代换()fx+()gx=11x………①中的x,∴1()()1fxgxx即()fx－1()1gxx……②显见①+②即可消去()gx,求出函数21()1fxx再代入①求出2()1xgxx需要更多内容，见文档最后表格介绍。在淘.宝.上搜.索.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)”【例】在R上定义的函数()fx是偶函数，且()fx(2)fx.若()fx在区间[1,2]上是减函数，则()fx()A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数答案：B解：由()(2)fxfx可知()fx图象关于x1对称.又因为()fx为偶函数图象关于0x对称，可得到()fx为周期函数且最小正周期为2，结合()fx在区间[1,2]上是减函数，可得如右()fx草图.故选B【例】定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（D）A.0B.1C.3D.5答案：D解：()()0fTfT，()()()()2222TTTTfffTf，∴()()022TTff，则n可能为5，选D.-7-【例】已知函数xf的图象关于直线2x和4x都对称，