【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划

7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-2-考纲要求:1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.-3-1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即可判断Ax+By+C0表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.(3)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C0或Ax+By+C0,则有①当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.-4-2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的一次不等式线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题-5-234151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)不等式x+y-10表示的平面区域一定在直线x+y-1=0的上方.()(2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.()(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(5)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()×√√×××-6-234152.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是()A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(2,-3)答案解析解析关闭把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选C.答案解析关闭C-7-234153.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m≥1B.m≤1C.m1D.m1答案解析解析关闭∵点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,∴2m+3-50,即m1.答案解析关闭D-8-234154.不等式组表示的平面区域是()𝑥-3𝑦+6≥0,𝑥-𝑦+20答案解析解析关闭x-3y+6≥0表示直线x-3y+6=0及右下方部分,x-y+20表示直线x-y+2=0左上方部分.故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.答案解析关闭B-9-234155.(2015课标全国Ⅱ,文14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为。𝑥+𝑦-5≤0,2𝑥-𝑦-1≥0,𝑥-2𝑦+1≤0,答案解析解析关闭如图所示,可行域为阴影部分.由可行域可知,目标函数z=2x+y过点B取得最大值.联立𝑥+𝑦-5=0,𝑥-2𝑦+1=0,解得𝑥=3,𝑦=2,则B(3,2),故zmax=6+2=8.答案解析关闭8-10-23415自测点评1.避免画平面区域失误的方法是:使二元一次不等式x的系数为正.当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时,就无法表示平面上的一个区域.2.线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点的情况下,分析其在y轴上的截距的取值范围,所以取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.3.求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b0,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴上截距最小时,z值最小;当b0时,则相反.-11-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1二元一次不等式(组)表示平面区域例1(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34𝑥≥0,𝑥+3𝑦≥4,3𝑥+𝑦≤4答案解析解析关闭平面区域如图所示.解𝑥+3𝑦=4,3𝑥+𝑦=4得A(1,1),易得B(0,4),C0,43,|BC|=4-43=83.∴S△ABC=12×83×1=43.答案解析关闭C-12-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.43,+∞B.(0,1]C.1,43D.(0,1]∪43,+∞𝑥-𝑦≥0,2𝑥+𝑦≤2,𝑦≥0,𝑥+𝑦≤𝑎答案解析解析关闭不等式组𝑥-𝑦≥0,2𝑥+𝑦≤2,𝑦≥0表示的平面区域如图(阴影部分),求得A,B两点的坐标分别为23,23和(1,0),若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a的a的取值范围是0a≤1或a≥43.答案解析关闭D-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域?解题心得:确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法:(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.-14-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1(1)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()A.-5B.1C.2D.3𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-1≤0,𝑎𝑥-𝑦+1≥0答案解析解析关闭不等式组𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-1≤0,𝑎𝑥-𝑦+1≥0所围成的平面区域如图.∵其面积为2,∴|AC|=4,从而C点坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3,故选D.答案解析关闭D-15-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为.答案解析解析关闭两条直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0.把x=0,y=0代入x-2y+2得2,可知直线x-2y+2=0右下方所表示的二元一次不等式为x-2y+2≥0,把x=0,y=0代入x+y-1得-1,可知直线x+y-1=0右上方所表示的二元一次不等式为x+y-1≥0,即𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-2𝑦+2≥0为所表示的平面区域.答案解析关闭𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-2𝑦+2≥0-16-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2求目标函数的最值(多维探究)类型一求线性目标函数的最值例2(2015课标全国Ⅰ,文15)若x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为________.思考:怎样利用可行域求线性目标函数的最值?𝑥+𝑦-2≤0,𝑥-2𝑦+1≤0,2𝑥-𝑦+2≥0,答案解析解析关闭画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由𝑥-2𝑦+1=0,𝑥+𝑦-2=0解得𝑥=1,𝑦=1,即点A的坐标为(1,1).由z=3x+y,得y=-3x+z.作出直线l0:y=-3x,并平移,当直线经过点A时,直线在y轴上的截距最大,即z最大.所以zmax=3×1+1=4.答案解析关闭4-17-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型二已知目标函数的最值求参数的取值例3设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=(B)A.-5B.3C.-5或3D.5或-3思考:如何利用可行域及最优解求参数及其范围?𝑥+𝑦≥𝑎,𝑥-𝑦≤-1,-18-考点1考点2考点3知识方法易错易混解析:当a=0时显然不满足题意.当a≥1时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),图(1)又z=x+ay,所以y=-1𝑎x+1𝑎z,因此当直线y=-1𝑎x+1𝑎z经过可行域中的A𝑎-12,𝑎+12时,z取最小值,于是𝑎-12+a·𝑎+12=7,解得a=3(a=-5舍去);-19-考点1考点2考点3知识方法易错易混当0a1时,画出可行域(如图(2)所示的阴影部分),显然直线y=-1𝑎x+1𝑎z的截距没有最小值,不合题意;图(2)-20-考点1考点2考点3知识方法易错易混当a0时,画出可行域(如图(3)所示的阴影部分),又z=x+ay,所以y=-1𝑎x+1𝑎z,显然直线y=-1𝑎x+1𝑎z的截距没有最大值,即z没有最小值,不合题意.综上,a的值为3,故选B.图(3)-21-考点1考点2考点3知识方法易错易混类型三求非线性目标函数的最值例4若x,y满足约束条件的最大值为.𝑥-1≥0,𝑥-𝑦≤0,𝑥+𝑦-4≤0,则𝑦𝑥-22-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:如何利用可行域求非线性目标函数最值?解题心得:1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.-23-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2(1)设x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.1𝑥+𝑦-1≥0,𝑥-𝑦-1≤0,𝑥-3𝑦+3≥0,答案解析解析关闭画出可行域如图所示,作直线l0:y=-12x,平移直线l0,当直线过点A(3,2)时,使得z最大,此时,zmax=3+2×2=7.故选B.答案解析关闭B-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)(2015福建,文10)变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于()A.-2B.-1C.1D.2𝑥+𝑦≥0,𝑥-2𝑦+2≥0,𝑚𝑥-𝑦≤0,答案解析解析关闭画出约束条件𝑥+𝑦≥0,𝑥-2𝑦+2≥0的可行域,如图,作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.答案解析关闭C-25-考点1考点2考点3知识方法易错易混(3)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为()2𝑥-𝑦-2≥0,𝑥+2𝑦-1≥0,3𝑥+𝑦-8≤0A.2B.1C.-13D.-12答案解析解析关闭画出已知不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小,由直线方程x+2y-1=0和3x+y-8=0,解得A(3,-1),故OM斜率的最小值为-13.答案解析关闭C-26-考点1考点2考点3知识方法易错易混(4)(2015郑州质检)设实数x,y满足不等式组则x2+y2的取值范围是(B)𝑥+𝑦≤2,𝑦-𝑥≤2,𝑦≥1,A.[1,2]B.[1,4]C.[√2,2]D.[2,4]答案解析解析关闭如图所示,不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界),x2+y2表示的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远的距离为AO,其值为2,故x2+y2的取值范围是[1,4].答案解析关闭B-27-考点1考