氢原子的一级斯塔克效应

氢原子的一级斯塔克效应李思黾刘旭栾星氢原子的哈密顿量无外场时：22pHrLSm其中2212dVrmcrdr处于沿z方向的均匀磁场中时：2222zzpeBHrLSLSmmc处于沿z方向的均匀电场中时：2cos2pHrLSeErm原子谱线的分裂谱线分裂现象产生原因精细结构正常塞曼效应反常塞曼效应斯塔克效应rLS22zzeBLSmc22zzeBLSrLSmccosreE斯塔克效应原子或分子处于外电场中时，谱线发生分裂的现象叫就叫做斯塔克效应，是由德国物理学家斯塔克于1913年首先发现的。斯塔克在极燧射线中发现了多普勒效应和在电场中发现了分裂的谱线因而获得1919年诺贝尔物理学奖。然而斯塔克的名声很坏，他是一个种族主义者，希特勒的狂热粉丝，二战结束后被德国军事法庭判处4年苦狱，于1957年6月21日在德国去世。斯塔克氢原子能级裂距正比于外电场，称为一级斯塔克效应。能级n分裂数为2n-1申老师教导我们：n增大时，计算量的增加将与n的二次方正相关！今天我们就将在实践中实践这一伟大的警示！教材P367第四版已经介绍了n=2能级由斯塔克效应引起的能级分裂。试看我们如何计算出n=5能级的一级微扰的能量修正。一般公式的推算'0HHH'cosHer0H22,2nlmnllmnRrYeEan在外电场中，不计电子自旋和相对论效应，氢原子的哈密顿量为：其中是无外电场时氢原子的哈密顿量，H’时电子在外电场中的势能，且H’是一个小量，称为微扰。是外电场的大小，的本征函数和能量为：0H当考虑一级微扰的能量修正后，能量的表达式为：1nknnkEEEH’的能量本征方程为：11'0fijijiiHEC有的书上成为久期方程，有非零解的条件为行列式为零，即：1'''111211'''212221'''120nnnnnnnnnHEHHHHEHHHHE''''''||||ijijnlmjinlmHHHH其中矩阵元为'''''||||ijijnlmnlmHHH'''|||cos|nlnllmlmreaRRYYa''||,nlnlreaRRmmIa''''''''''11,1,121212123lmlmlmlmIllllllll1,0lm对于个矩阵元可以证明只有满足的才不为零证明如下：该式表明，只有满足选择定则的矩阵元才不为零。121000nnnmnmAAAAAA2n'mm根据的矩阵元都为零的条件，久期方程久变为2n-1个对角的非零分块行列式和余下的零子行列式组成的阶行列式其中是取磁量子数为m时，角量子数l分别取组成的阶行列的分块行列式。nmA,1,2,,(1)mmmn()nm11111111nmmnmmmnmmnmmmnnmnnnnRYRYRYnmA0,1,(1)mn在分块行列式中，零级波函数按如下规则构成：122()(1)10nmnnnnmAAAAAAAA其中：所以氢原子一级斯塔克效应中久期方程式简化为：这就是计算氢原子一级斯塔克效应能级修正值的简化公式，只要根据各分块行列式对一级能量修正值，就可得到该态氢原子一级能级修正值。下面就尝试计算n=3，4，5各能级的一级修正值。5432154321000AAAAAAAAAA久期方程的矩阵表示5A''112'''21123'''532134'''43145''54100EHHEHAHEHHEHHE5Am分别取0，1，2，3，4对应各分块矩阵当m=0时，分块矩阵为，L的取值可以是1，2，3，4，5矩阵的具体表示为：''*'1221510520''*'2332520530''*'1221530540''*'1221540550VVVVHHHdHHHdHHHdHHHd'cosHer其中的矩阵元为：下面我们将计算nlmnlm的计算过程：3220!21exp1,22,1!2(21)!nlnlRFnllnlanl20(1)(1)(1),,12!(1)!(1)(1)kaaaaakFzzzkk21!1cosexp4!mmlmlllmYPimlm222112!lmmlmlllmdPxlxxldxnlmnllmRY（其中F为合流超几何函数）（1）（2）（3）（4）现在演示如何求5105005000RY00000(201)(00)!1(cos)exp04(00)!YPi0002200001(cos)0cos(cos1)120!(cos)dPd0014Y001(cos)4P由公式（3）得：由公式（4）得：故推出50322050!21exp501,202,501!25201!RFa123322024,2,5eFa234414414244,2,122!2213!22122F2341226120123425033220212261205Rea由公式（1）得：由公式（2）得：故推得：2343225001122122402ae1234250050003322021122612045RYea0014Y123425033220212261205Rea025aa作代换根据以上计算有：所以推出：可得：202ae其中即波尔半径是高阶小量，可忽略不计用相同的方法，重复上面三页幻灯片所示的步骤可以解出：510520530540，，，23432250050002332251051102322225205220333225305330112212240231cos342036023513cos1342801120cos1282404RYaeRYaeRYaeRYae3442225405440cos1357cos240cos242401287RYae2002222,()52255aaaerrea波尔半径其中：''12210''23320''34430''45540152335183573077HHeaHHeaHHeaHHea50A'10E015ea030ea5A并考虑到代入方程中解得的各矩阵元的值为：再将这些值代入方程中得，能量值为：或或同理，重复以上步骤可以解出m=1，2，3，4所对应的分块矩阵的矩阵元及能量事实上计算结果可以在网上找到（没有过程），故我们抓主要矛盾，直接引用。'cosHer15015450153022Ea（，，，，）e至此，终于大功告成！201'555001545E015305022eEEaa（，，，，）e氢原子n=5的一级斯塔克能级修正值为：氢原子n=5的一级斯塔克能级为：结论：在高激发态中随着量子数n的增加，氢原子的零级波函数越来越复杂，对高激发态的斯塔克能级修正值的计算十分复杂。笔者仅仅计算分块矩阵A5就花了一下午，而在网上找到A4，A3，A2总共不过十分钟。可见：在不太关注过程的情况下，应该学会上网查文献！申明：我们的工作是根据申老师教的知识，计算了一个更复杂的例子，主要是体力活，所涉及的部分内容如有侵权之处，请别较真！