2017年北京市高考理科数学试卷及答案

[键入文档标题]绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=（A）{x|–2x–1}（B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1}（D）{x|1x3}（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）32[键入文档标题]（C）53（D）85（4）若x，y满足，则x+2y的最大值为（A）1（B）3（C）5（D）9（5）已知函数1(x)33xxf，则(x)f（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0＜”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为[键入文档标题]（A）32（B）23（C）22（D）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m=_______________.（10）若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22ab=__________.（11）在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为.（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若1sin3，[键入文档标题]cos()=.（13）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________.（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标学科&网分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________。三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在△ABC中，A=60°，c=37a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积.（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD=6,AB=4.[键入文档标题](I)求证：M为PB的中点；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy和的学科.网数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题14分）已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.（19）（本小题13分）已知函数f(x)=excosx−x.（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.[键入文档标题]（20）（本小题13分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数．（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，ncMn；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析1．A【解析】集合|21Axx与集合|13或Bxxx的公共部分为|21xx，故选A．2．B【解析】(1i)(i)(1)(1)iaaa，对应的点在第二象限，1010aa解得：1a故选B．3．C【解析】当0k时，3k成立，进入循环，此时1k，2s；当1k时，3k成立，继续循环，此时2k，32s；当2k时，3k成立，继续循环，此时3k，53s；当3k时，3k不成立，循环结束，输出s．故选C．4．D【解析】设2zxy，则122zyx，由下图可行域分析可知，在33，处取得最大值，代入可得max9z，故选D．[键入文档标题]5．A【解析】奇偶性：fx的定义域是R，关于原点对称，由113333xxxxfxfx可得fx为奇函数．单调性：函数3xy是R上的增函数，函数13xy是R上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即1=33xxfx是R上的增函数．综上选A6．A【解析】由于m，n是非零向量，“存在负数，使得mn．”根据向量共线基本定理可知m与n共线，由于0，所以m与n方向相反，从而有0mn，所以是充分条件。反之，若0mn，m与n方向相反或夹角为钝角时，m与n可能不共线，所以不是必要条件。综上所述，可知mn”是“0mn”的充分不必要条件，所以选A．7．B【解析】如下图所示，在四棱锥PABCD中，最长的棱为PA，所以2222=2(22)23PAPCAC，故选B．[键入文档标题]8．D【解析】由于36180lglglglg3lg103610.488093.28MMNN=≈，所以93.2810MN≈，故选D．9．2【解析】∵双曲线的离心率为3∴3ca∴223ca∵1a，bm，222abc∴222223312bmcaaa10．1【解析】∵na是等差数列，11a，48a，∴公差3d∴212aad∵nb为等比数列，11b，48b∴公比2q∴212bbq故221ab11．1【解析】把圆22cos4sin40改写为直角坐标方程222440xyxy，化简为22(1)(2)1xy，它是以1,2为圆心，1为半径的圆。画出图形，连结圆心O与点P，交圆于点A，此时AP取最小值，A点坐标为1,1，1AP．[键入文档标题]O(1,2)P(1,0)A(1,1)21yx12．79【解析】∵因为角和角的终边关于y轴对称∴1sinsin3，coscos∴coscoscossinsin2227cossin2sin1913．1，2，3【解析】由题意知a，b，c均小于0，所以找到任意一组负整数，满足题意即可．14．①1Q②2p【解析】①设线段iiAB的中点为，iiiCxy，则2iiQy，其中123，，i．因此只需比较1C，2C，3C三个点纵坐标的大小即可．②由题意，iiiypx，123，，i，故只需比较三条直线1OC，2OC，3OC的斜率即可．15．【解析】（1）37ca由正弦定理得：33333sinsin77214CA（2）37caa60CAC为锐角由33sin14C得：13cos14C[键入文档标题]sinsin[π()]sin()BACACsincoscossinACAC313133214214437又337377ca1sin2ABCSacB14373276316．【解析】（1）取AC、BD交点为N，连结MN．∵PD∥面MACPD面PBD面PBD∩面MACMN∴PDMN∥在PBD△中，N为BD中点∴M为PB中点（2）方法一：取AD中点为O，BC中点为E，连结OP，OE∵PAPD，∴POAD又面PAD面ABCD面PAD∩面ABCDAD∴PO面ABCD以OD为x轴，OE为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标可知200D，，，200A，，，240B，，，002P，，易知面PD的法向量为010m，，且202PD，，，242PB，，设面PBD的法向量为nxyz，，2202420xzxyz可知112n，，[键入文档标题]∴222211cos21112mn，由图可知二面角的平面角为锐角∴二面角BPDA大小为60方法二：过点A作AHPD，交PD于点E，连结BE∵BA平面PAD，∴PDBA，∴PD平面BAH，∴PDBH，∴AEB即为二面角BPDA的平面角ADPOAEPD，可求得433AE4tan343AEB∴60AEB（3）方法一：点2122M，，，240C，，∴2322MC，，由（2）题面BDP的一个法向量112n，，设MC与平面BDP所成角为∴22232126sincos91941122MCn，（）方法二：记ACBDF，取AB中点N，连结MN，FN，MF取FN中点G，连MG，易证点G是FN中点，∴MGPO∥∵平面PAD平面ABCD，POAD，∴PO平面ABCD∴MG平面ABCD连结GC，13GC，1222MGPO∴362MC∵6PD，42BD，22PB，由余弦定理知3cos3PDB∴6sin3PDB，∴1sin422PDBSPDDBPDB△GNFPHMBCDA[键入文档标题]设点C到平面PDB的距离为h，13PDBCPDBVSh△又13PDBCCPDBBCDVVSPO△，求得2h记直线MC与平面BDP所成角为∴226sin9362hMC17．【解析】（1）50名服药者中指标y的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标y的值小于60的概率为1535010（2）的可能取值为：0，1，22224106CPC，11222442163CCPC，2224126CPC012P162316121()0121636E（