2019年中考数学复习专题突破--取值范围的确定

.精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创1/242019年中考数学复习专题突破--取值范围的确定专题四取值范围的确定几何背景1.几何背景下确定最大值和最小值例1(2018，石家庄模拟)如图，在矩形纸片ABD中，AB＝4，B＝3，翻折矩形纸片，使点A落在对角线DB上的点F处，折痕为DE，打开矩形纸片，并连接EF.(1)BD的长为5；(2)求AE的长；(3)在BE上是否存在点P，使得PF＋P的值最小？若存在，请你确定点P的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例1题图【思路分析】(1)根据勾股定理解答即可．(2)设AE＝x，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．(3)延长B到点G，使BG＝B，连接FG，交BE于点P，确定点P的位置，连接P，再利用相似三角形的判定和性质，最后利用勾股定理解答即可．解：(1)5(2)设AE＝x..精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创2/24∵AB＝4，∴BE＝4－x.根据折叠的性质，知Rt△FDE≌Rt△ADE.∴FE＝AE＝x，FD＝AD＝B＝3，∠EFD＝∠A＝90°.∴BF＝BD－FD＝5－3＝2.在Rt△BEF中，根据勾股定理，得FE2＋BF2＝BE2，即x2＋4＝(4－x)2.解得x＝32.∴AE的长为32.(3)存在．如答图，延长B到点G，使BG＝B，连接FG，交BE于点P，则点P即为所求．连接P，此时有P＝PG.∴PF＋P＝GF.过点F作FH⊥B，交B于点H，则有FH∥D.∴△BFH∽△BD.∴FHD＝BFBD＝BHB，即FH4＝25＝BH3.∴FH＝85，BH＝65.∴GH＝BG＋BH＝3＋65＝215.在Rt△GFH中，根据勾股定理，得GF＝GH2＋FH2＝5055.所以PF＋P的最小值为5055..精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创3/24例1答图针对训练1(2012，河北，导学号5892921)如图，在△AB中，AB＝13，B＝14，s∠AB＝513.【探究】如图①，AH⊥B于点H，则AH＝12，A＝15，△AB的面积为84.【拓展】如图②，点D在A上(可与点A，重合)，分别过点A，作直线BD的垂线，垂足为E，F.设BD＝x，AE＝，F＝n.(当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0)(1)用含x，，n的代数式表示S△ABD及S△BD；(2)求＋n关于x的函数解析式，并求＋n的最大值和最小值；(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．【发现】请你确定一条直线，使得A，B，三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值．训练1题图【思路分析】【探究】先在Rt△ABH中，由AB＝13，s∠AB＝513，可得AH＝12，BH＝5，则H＝9，再解Rt△AH，即可求出A的长，最后根据三角形的面积公式即可求出S△.精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创4/24AB的值．【拓展】(1)由三角形的面积公式即可求解．(2)首先由(1)可得＝2S△ABDx，n＝2S△BDx，再根据S△ABD＋S△BD＝S△AB＝84，即可求出＋n关于x的函数解析式，然后由点D在A上(可与点A，重合)，可知x的最小值为A边上的高，最大值为B的长，由此便可确定＋n的最大值与最小值．(3)因为B＞BA，所以当以点B为圆心，大于565且小于13为半径画圆时，与A有两个交点，不符合题意．故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△AB的边A上的高时，点D符合题意．②当AB＜BD≤B时，点D符合题意．【发现】因为A＞B＞AB，所以使得A，B，三点到这条直线的距离之和最小的直线就是A所在的直线．解：【探究】121584【拓展】(1)由三角形的面积公式，得S△ABD＝12BD•AE＝12x，S△BD＝12BD•F＝12xn.(2)由(1)得＝2S△ABDx，n＝2S△BDx，∴＋n＝2S△ABDx＋2S△BDx＝168x.∵A边上的高为2S△AB15＝2×8415＝565，∴x的取值范围是565≤x≤14.∵＋n随x的增大而减小，∴当x＝565时，＋n的最大值为15.当x＝14时，＋n的最小值为12..精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创5/24(3)x的取值范围是x＝565或13＜x≤14.【发现】∵A＞B＞AB，∴使得A，B，三点到这条直线的距离之和最小的直线就是A所在的直线，A边上的高为565.∴这个最小值为565.针对训练2(2011，河北)如图①至④中，两平行线AB，D间的距离均为6，为AB上一定点．【思考】如图①，圆心为的半圆形纸片在AB，D之间(包括AB，D)，其直径N在AB上，N＝8，P为半圆上一点，设∠P＝α.当α＝90°时，点P到D的距离最小，最小值为2.【探究一】在图①的基础上，以点为旋转中心，在AB，D之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠B＝30°，此时点N到D的距离是2.【探究二】将图①中的扇形纸片NP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片P绕点在AB，D之间顺时针旋转．(1)如图③，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P到D的最小距离，并请指出旋转角∠B的最大值；(2)如图④，在扇形纸片P旋转过程中，要保证点P能落在直线D上，请确定α的取值范围．.精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/24参考数据：sin49°＝34，s41°＝34，tan37°＝34训练2题图【思路分析】【思考】根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案．【探究一】根据sin∠B＝24＝12，得到最大旋转角∠B＝30°，此时点N到D的距离是2.【探究二】(1)由已知得出点与点P的距离为4，当P⊥AB时，点P到AB的距离最大，从而点P到D的距离最小，当弧P与AB相切时，可得出∠B的最大值．(2)当弧P与D相切于点P时，可求出α的最大值．当点P在D上且与AB距离最小时，可求出α的最小值，进而可得出α的取值范围．解：【思考】90°2【探究一】30°2【探究二】(1)如答图①，连接P.∵α＝60°，∴△P是等边三角形．∴P＝＝4.∴当P⊥AB时，点P到AB的距离最大，是4.∵点与点P之间的距离为4，∴点P到D的最小距离为6－4＝2.当扇形P在AB，D之间旋转到不能再转时，弧P与AB相切，此时旋转角最大，∠B的最大值为90°.(2)如答图②..精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创7/24由【探究一】可知，当P是弧P与D的切点时，α最大，即P⊥D，此时延长P交AB于点R，α的最大值为∠R＋∠R＝30°＋90°＝120°.如答图③，连接P，作H⊥P于点H.当点P在D上且与AB距离最小，即P⊥D时，α最小．由垂径定理，得H＝3.在Rt△H中，＝4.∴sin∠H＝H＝34.∴∠H＝49°.∵α＝2∠H，∴α最小为98°.∴α的取值范围为98°≤α≤120°.训练2答图2.几何背景下确定取值范围例2(2017，河北，导学号5892921)如图，AB＝16，为AB的中点，点在线段B上(不与点，B重合)，将绕点逆时针旋转270°后得到扇形D，AP，BQ分别切优弧D于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接P.(1)求证：AP＝BQ；(2)当BQ＝43时，求弧QD的长；(3)若△AP的外心在扇形D的内部，求的取值范围．例2题图.精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创8/24【思路分析】(1)连接Q，只要证明Rt△AP≌Rt△BQ即可解决问题．(2)求出优弧DQ所对的圆心角以及所在圆的半径即可解决问题．(3)由△AP的外心是A的中点，A＝8，推出△AP的外心在扇形D的内部时，的取值范围为4＜＜8.(1)证明：如答图，连接Q.∵AP，BQ是⊙的切线，∴P⊥AP，Q⊥BQ.∴∠AP＝∠BQ＝90°.在Rt△AP和Rt△BQ中，A＝B，P＝Q，∴Rt△AP≌Rt△BQ.∴AP＝BQ.(2)解：∵Rt△AP≌Rt△BQ，∴∠AP＝∠BQ，∴P，，Q三点共线．∵在Rt△BQ中，sB＝QBB＝438＝32，∴∠B＝30°.∴∠BQ＝60°.∴Q＝12B＝14AB＝4.∴优弧QD的长为（270－60）•π•4180＝14π3.(3)解：∵△AP的外心是A的中点，A＝8，∴当△AP的外心在扇形D的内部时，的取值范围为4＜.精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创9/24＜8.例2答图针对训练3(2018，石家庄模拟)如图，在Rt△AB中，∠B＝90°，∠AB＝30°，A＝3.以点为原点，斜边A所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P(4，0)为圆心，PA的长为半径画圆，⊙P与x轴的另一交点为N，点在⊙P上，且满足∠PN＝60°，⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动．设运动时间为ts.【发现】(1)弧N的长度为（π3）；(2)当t＝2时，求扇形PN与Rt△AB重叠部分的面积．【探究】当⊙P和△AB的边所在的直线相切时，求点P的坐标．【拓展】当弧N与Rt△AB的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围．训练3题图【思路分析】【发现】(1)先确定出弧N所在圆的半径，进而用弧长公式即可得出结论．(2)先求出PA＝1，进而求出AQ，PQ的长，即可用面积公式得出结论．【探究】分圆和直线AB、直线B相切，利用三角函数即可得出结论．【拓展】先找出弧N和Rt△AB的两边有两个交点时的分界点，即可.精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创10/24得出结论．解：【发现】(1)π3(2)设⊙P的半径为r，则有r＝4－3＝1.当t＝2时，如答图①，点N与点A重合，∴PA＝r＝1.设P与AB相交于点Q.∵∠AB＝30°，∠PN＝60°，∴∠PQA＝90°.∴PQ＝12PA＝12.∴AQ＝AP•s30°＝32.∴S重叠部分＝S△APQ＝12PQ•AQ＝38，即重叠部分的面积为38.【探究】①如答图②，当⊙P与AB边所在的直线相切于点时，连接P，则有P⊥AB，P＝r＝1.∵∠AB＝30°，∴AP＝2.∴P＝A－AP＝3－2＝1.∴点P的坐标为(1，0)．②如答图③，当⊙P与B边所在的直线相切于点D时，连接PD，则有PD⊥B，PD＝r＝1.∴PD∥AB.∴∠PD＝∠AB＝30°..精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/24∵s∠PD＝PDP，∴P＝233.∴点P的坐标为233，0.③如答图④，当⊙P与B边所在的直线相切于点E时，连接PE，则有PE⊥B，PE＝r＝1.同理P＝233.∴点P的坐标为－233，0.综上所述，当⊙P和△AB的边所在的直线相切时，点P的坐标为(1，0)或233，0或－233，0.【拓展】t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5.训练3答图针对训练4(2014，河北，导学号5892921)如图①和图②，优弧AB所在⊙的半径为2，AB＝23.P为优弧AB上一点(点P不与点A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′.(1)点到弦AB的距离是1，当BP经过点时，∠ABA′＝60°；(2)当BA′与⊙相切时，如图②，求折痕的长；(3)若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP＝α.确定α的取值范围．训练4题图【思路分析】(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点.精品文档.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创12/24到弦AB的距离．利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′.(2)根据切线的性质得到∠BA′＝90°，从而得到∠ABA′＝120°，就可求出∠ABP，进而求出∠BP＝30°.过点作G⊥BP，垂足为G，容易求出BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．(3)根据点A′的位置不同，得到线段BA′与优弧AB只有一个公共点B时，α的取值范