多相滤波

多相滤波作者：檀华江主要内容•引言•信号的抽取•信号的插值•抽取与插值相结合的抽样率转换•信号的多相表示•几个重要的恒等关系•抽取和插值的滤波器实现•抽取与插值的编程实现1引言•研究背景•研究目的•研究内容1.1研究背景至今，我们讨论的数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际应用中，各系统之间的采样率往往是不同的。使用多相表示可在抽样率转换的过程中去掉许多不必要的计算，因而大大提高运算速度。1.2研究目的要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要。对一个数字信号，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。1.3研究内容核心内容:信号抽样率的转换及滤波器组。信号的“抽取(decimatiom)”：减少抽样率以去掉过多数据信号的“插值(interpolation)”:增加抽样率以增加数据滤波器组:分析滤波器组和综合滤波器组2信号的抽取•抽取对信号频谱的影响•先滤波再抽取2.1抽取对信号频谱的影响•设，将x(n)中每M个点中抽取一个，依次组成一个新的序列y(n)，即()()|tnTsxnxt)()(Mnxny↓Mx(n)y(n)2.1抽取对信号频谱的影响)(tx)(nx抽样csff2保证不会发生频谱的混迭)(nxM倍抽取()yn2scfMf不会发生频谱的混迭保证若M是可变的，为防止抽取后在出现混迭，应对x(n)抽取前先作低通滤波，压缩其频带。()jYe2.2先滤波再抽取h(n)为一理想低通滤波器:1||()0jMHeelse滤波后的输出为kknxkhn)()()(对v(n)抽取后的序列为y(n):()()()()()()kkynMnhkxMnkxkhMnk时域2.2先滤波再抽取10)2()2()()(1)(MkMkjMkjjeHeXMeY在(-π/M～π/M)内,抽取后信号的频谱与原信号频谱只是幅度相差M倍。2.2先滤波再抽取频域3信号的插值•插值的概念•插零后的信号及其频谱•先插值再滤波3.1插值的概念设，将x(n)中每两个点之中补L-1个0，组成一个新的序列v(n)，即()()|tnTsxnxt↑Lx(n)v(n)0)()(Lnxn其它,2,,0LLn3.2插零后的信号及其频谱()()()()jjnjnjkLnnkVenexnLexke即)()(LjjeXeV插零后信号的频谱V(ejω)在(-π/L~π/L)内等于X(ejω),相当于将X(ejω)作了周期压缩。换句话说，就是V(ejω)在(-π~π)内包含了L个X(ejω)的压缩样本。3.2插零后的信号及其频谱实际实现插值的方法是用v(n)和一低通滤波器作卷积。3.3先插值再滤波0)(ceHj其它L||()()()()()jjjjjLYeHeVecVecXe||L所以应取c=L以保证y(n)=x(n/L)1()()2()()()22jjnnjLjLjnjLLynYeedcccnXeedXeedxLLL频域3.3先插值再滤波()()*()()()()()kkynnhnkhnkxkLhnkkkLnhkxny)()()(即时域插值时补进来的零，不再是零。4抽取与插值相结合的抽样率转换合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取使用2个低通滤波器使用1个低通滤波器0)(LeHj0||min(,)LM其它该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭4.1时域上x(n)和y(n)的关系记kLkMnhkxny)()()(y(n)正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合[]kMnLm0()([])()LmynxMnLmhmLMn则[]modLMnMnLLMnLMn因为h(n)是因果滤波器，所以0LkMn()kMLn4.1时域上x(n)和y(n)的关系y(n)可以看作是将x(n)通过一个时变滤波器所得到的输出。记该时变系统的单位抽样响应为所以g(n,m)是变量m的周期函数，周期为L。因为(,)()LgnmhnLMm,nm(,)()()LLgnmkLhnLMmkMLhnLMm4.2频域上x(n)和y(n)的关系1(2)1(2)00()1()()0MjLkMMjjkMkkLXeYeUeMM其它),min(||LM5信号的多相表示意义：使用多相表示可在抽样率转换的过程中去掉许多不必要的计算，因而大大提高运算速度。I型多相表示II型多相表示III型多相表示多相分解和FIR结构多相分解实现抽取滤波器多相分解实现内插滤波器给定序列h(n)，令，假定M=40~n4812048120()()nnHzhnzhhzhzhz1515111177331414101066221313995511zhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzh048120481214812159132481226101434812371115[][][][]zhhzhzhzzhhzhzhzzhhzhzhzzhhzhzhz给定序列h(n)，令，有0~n100)()(MlnMnlzlMnhzzH0)()(nnlzlMnhzE10)()(MlMllzEzzH记则)()(lMnhnel若再记则0)()(nnllznezE类型-I多相表示用M-1-l代替类型I中的l，则有10)1()()(MlMllMzRzzH01)1()()(nnlMlzlMMnhzEzR式中类型II多相表示用-l代替类型I中的l，则有类型III多相表示0)()(nnlzlMnhzQ10)()(MlMllzQzzH)()(1zEzzQlMl显然例:M=4时，h[k]的多相分量。I型多相分解e0[k]k0123e1[k]k0123e2[k]k0123e3[k]k0123h[k]k0123)(zH4h[k]e0[k]4ze1[k]4ze2[k]4ze3[k]34324214140)()()()(zzEzzEzzEzE一般地1,,1,0],[][MnnkMhkenI型多相分解H(z)可用M个多相分量En(z)表示为)(][zEkenznnMnMnzzEzH)()(10多相分解可由矩阵表示为)1(11101])()()([)(MMMMMzzzEzEzEzH例：已知一IIR系统的H(z)，试求M=2时的多相分量。11112)1()(zzzH)1)(1()1)(1(2)1(1111zzzz22121)1(12)1(zzz)(0zE)(1zE11112)1()(zzzH12120210)()()()(zzEzEzzEzHnnn解：121112)1(zz12112)1(z例：试求五阶II型线性相位系统M=2时的多相分量解：54321]0[]1[]2[]2[]1[]0[)(zhzhzhzhzhhzH53142]0[]2[]1[]1[]2[]0[)(zhzhzhzhzhhzH)(0zE)(1zE)()(1021zEzzE21]1[]2[]0[zhzhh21]0[]2[]1[zhzhh654321]0[]1[]2[]3[]2[]1[]0[)(zhzhzhzhzhzhhzH)(0zE)(1zE例：试求六阶I型线性相位系统M=2时的多相分量)()(1030zEzzE)()(1121zEzzE解：321]0[]2[]2[]0[zhzhzhh21]1[]3[]1[zhzhhnMnMnzzEzH)()(101,,1,0),()(1MnzEzRnMn：记)1(10)()(nMMnMnzzRzH根据I型多相分解可得II型多相分解II型多相分解)()()(1110)2()1(MMMMMMzRzRzRzz多相分解和FIR滤波器结构E0(zM)z1E1(zM)E2(zM)EM-1(zM)z1z1][kx][ky)1(11101])()()([)(MMMMMzzzEzEzEzH多相分解实现抽取滤波器(decimator)H(z)][kx][kyME0(zM)z1E1(zM)E2(zM)EM-1(zM)z1z1][kx][kyME0(z)z1E1(z)E2(z)EM-1(z)z1z1][kx][kyMMMM直接型：一个周期内完成N次乘法多相结构：M个周期内完成N次乘法，降低了对系统的要求。R0(zM)z1R1(zM)R2(zM)RM-1(zM)z1z1][kx][ky多相分解和FIR滤波器结构)()()(1)(110)2()1(MMMMMMzRzRzRzzzHL)(zH][kx][ky)1(10)()(nMMnMnzzRzHR0(zL)z1R1(zL)R2(zL)RM-1(zL)z1z1][kx][kyLR0(z)z1R1(z)R2(z)RM-1(z)z1z1][kx][kyLLLL多相分解实现内插滤波器(interpolator)6几个重要的恒等关系两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自抽取后再定标和相加。6几个重要的恒等关系信号延迟M个样本后作M倍抽取和先抽取再延迟一个样本是等效的6几个重要的恒等关系在M倍抽取器的前后，滤波器z的幂相差M倍6几个重要的恒等关系7抽取和插值的滤波器实现•抽取的滤波器实现•插值的滤波器实现•抽取和插值相结合的滤波器实现7.1抽取的滤波器实现一般框图先卷积后抽取先抽取后卷积7.2插值的滤波器实现一般框图1(1)231330120()()()()()MMlMllHzzRzzRzzRzRz10)1()(MNnnlzlMMnhzR插值多相滤波器7.1抽取的滤波器实现将滤波器系数分组来实现信号的抽取7.1抽取的滤波器实现可以用多相结构来实现信号的抽取:)()()()(32231130zEzzEzzEzH10)()(MNnniziMnhzE281522271411261300)()()(zhzhhzEzhzhhzEzhzhhzE抽取多相滤波器7.1抽取的滤波器实现抽取的多相结构实现7.2插值的滤波器实现直接多相实现高效多相实现7.3抽取和插值相结合的滤波器实现一般框图直接多相实现高效多相实现8抽取与插值的编程实现10)1()(MNnnlzlMMnhzR10)()(MNnniziMnhzE插值多相滤波器抽取多相滤波器)(),(LMnmLhnmg定义时变滤波器所以g(n,m)是变量n的周期函数，周期为L。8抽取与插值的编程实现)(),(LMnmLhnmg)(),(LkMLMnmLhkLnmg),()(kLnmgMnmLhL8抽取与