截长补短法

“截长补短法”的应用截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。例1、如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.ABCDEF思路点拨：在长线段CD上截取DF=DA，则△DAE≌△DFE，再只需证明△CEF≌△CEB，即可得到CF=CB截长法如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.ABCDEF证明:(截长法)在DC上截取DF=DA,连接EF利用SAS证明△ADE≌△FDE∴∠A=∠5又∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°而∠5+∠6=180°，∴∠6=∠B在△CEF和△CEB中∠6=∠B(已证）∠3=∠4(已知）CE=CE(公共）123456∴△CEF≌△CEB（AAS)∴CF=BC∵CD=DF+CF∴CD=AD+BCABCDEF3、再证△AED≌△BEF,得到AD=BF,由CF=BF+BC=AD+BC,得CD=AD+BC.1、延长CB与DE相交于F，由已知条件可以推出∠DEC=90°2、根据三角形判定定理证明△CED≌△CEF得到CD=CF,ED=EF如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.例2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDEAEDCBF1、可考虑补短法，延长DE至F，使EF=BC,连AC，AF，证两次全等即可求解。2、注意，用截长法得不到两次全等，故本题不宜用截长法来做AEDCBFABCDMFE比较例1和例2，一般出现什么条件时可以同时使用截长补短两种办法？已知△ABC中，BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD,CE交于点O，且BC=BE+CD，求∠A的度数。ABCEDOABCEDOFM4321已知△ABC中，BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD,CE交于点O，且BC=BE+CD，求∠A的度数。例3.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。求证：DE=AD+BE21342例4.在△ABC中,∠B＝2∠C,AD平分∠BAC.求证：AB+BD=ACABCDE证明：在AC上截取AE=AB，连结DE∴△ABD≌△AED∴BD=DE,∠B＝∠3∵∠3=∠4+∠C∵∠B＝2∠C∴∠3=2∠C∴2∠C=∠4+∠C∴DE=CE∴BD=CE∵AE+EC=AC∴AB+BD=AC13∴∠C＝∠4截长法１．在△ABC中,∠B＝2∠C,AD平分BAC.求证：AB+BD=ACABCDE在AB的延长线截取BE=BD，连结DE.证明：补短法在射线AB截取BE=BD，连结DE.2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证：AC=AE+CDACEBOD在AC上取CF=CD，连OF证△AEO≌△AFO得△COD≌△COF，∠AOC=120°∠AOE=∠DOC=60°=∠FOCF例题讲解如图，AD∥BC，AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA，CD经过点E，求证：AB＝AD+BCEDCBA练习在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是ABCDMN思考题在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）的结论还成立吗?ABCDMN写出你的猜想并加以证明；如图3，点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想（I）的结论还成立吗?若不成立，又有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明.ABCDMN截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．著名的数学家，莫斯科大学教授雅洁卡提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题”。许多题目我们都解过，怎样转化呢？加油吧！