截面的几何性质

附录I截面的几何性质I.1截面的静矩和形心I.2惯性矩惯性积I.3平行移轴公式组合截面惯性矩和惯性积I.4转轴公式主惯性轴和主惯性矩I.1.1静矩（面积矩）I.1截面的静矩和形心1、定义dA对y轴的微静矩:2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。dA对x轴的微静矩:ddxSyAddySxA3、静矩的值可以是正值、负值、或零。OxydAxydxASyAdyASxA4、静矩和形心的关系ACACxdAxAydAyAdyCASxAAxdxCASyAAy平面图形的形心公式结论：图形对过形心的轴的静矩为零。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。静矩和形心的关系xyOdAxyxCCyC组合图形:由若干个基本图形组合而成的图形基本图形:面积、形心位置已知的图形I.1.2组合图形的静矩：xxiiCiSSAyyyiiCiSSAx组合图形对于某一轴的静矩，等于图形各组成部分对于同一轴静矩之代数和。例Ⅰ-1求图示半圆形的静矩Sx、Sy。解：由对称性0yS22d2d2dAxyRyy22302d2d3RxASyAyRyyR取平行于x轴的狭长条作为微面积dAORxyydyI.2惯性矩惯性积1、定义：dA对x轴的惯性矩:dA对y轴的惯性矩:2、量纲：m4、mm4。2dxAIyA2dyAIxA2ddxIyA2ddyIxA3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4、惯性矩的取值恒为正值。5、极惯性矩：（对O点而言）2dPAIA图形对x轴的惯性矩:图形对y轴的惯性矩:I.2.1惯性矩OxydAxy图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。22()dAyxA22ddAAyAxAxyIIbhxccyc⑴圆形截面的惯性矩：实心（直径D）空心（外径D，内径d）⑵矩形截面的惯性矩：bdy3112xIbh3121hbIy464xyDII44164xyDIIhdx223221dd12hhxAIyAbyybh223221dd12bbyAIxAhxxhb6、惯性半径：AIixxAIiyy1、定义：2、量纲：［长度］4，单位：m4、mm4。3、惯性积是对轴而言。dxyAIxyA4、惯性积的取值为正值、负值、零。5、规律：两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。I.2.2惯性积OxydAxyI.3平行移轴公式I.3.1平行移轴公式图形截面积A，形心坐标xc、yc，对形心轴的惯性矩和惯性积分别为Ixc、Iyc、Ixcyc，a、b已知。xc轴平行于x轴；yc轴平行于y轴。求：Iz、Iy。xyOCbaycxc22222d()ddd2dxcAAccAAAxcIyAyaAyAaAayAIaA2yycIIbAdAycxcxy同理xyOCbaycxcdAycxcxyd()()dxyccAAIxyAyaxbAddddccccAAAAxcycyxAabAaxAbyAIabA22xxcyycxyxcycIIaAIIbAIIabA——平行移轴公式注意：xC、yC为形心轴a、b为图形形心C在Oxy坐标系的坐标值，可正可负I.3.2组合截面的惯性矩惯性积根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：1nxxiiII1nyyiiII1nxyxiyiiII例I-2求T形截面对其形心轴yc的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在对称轴zc上。取过矩形2的形心且平行于底边的y轴作为参考轴120140A180Cz210020A20Cz形心坐标11221246.7mmCCCAzAzzAAzC213111123112120140201408046.712ycCCIbhAzz22322223121211002010020046.712ycCCIbhAzz126412.1210mycycycIII2014010020zcycy12zC例I-3求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：π328π1223dddASyxcxydycCxcb(y)22d()d2dAbyyRyy222301d2d12dxASyAyRyyd取平行于x轴的狭长条作为微面积dA求对形心轴xc的惯性矩128π264π44ddIxπ18128π8π)(4422dddyIIcxxc由平行移轴公式得：例I-4试求图示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对x轴的惯性矩：13344280200533310mm1212xdaI2、一个半圆对其自身形心轴的惯性矩44π12818πcxddIxyCd=8040100a=10040a+2d3p3、一个半圆对x的惯性矩222442π346710mm3π8cxxddIIa124444253331023467101227010mmxxxIII4、整个截面对于对称轴x的惯性矩I.4.1转轴公式I.4转轴公式主惯性轴主惯性矩dA在坐标系Oxy的坐标为（x，y）1cossinxOEECxy惯性矩定义121dxAIAyxyOxyAdA已知：Ix、Iy、Ixy。求：Ix1、Iy1、Ix1y1。dA在坐标系Ox1y1的坐标（x1，y1）BDEC1cossinyADCDyx222222cosdsind2sincosdcossin2sincosAAAxyxyyAxAxyAIII利用二倍角函数，得转轴公式：1111cos2sin222cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxyxyyxyxyxyxyIIIIIIIIIIIIIIII的符号为：从x轴至x1轴逆时针为正，顺时针为负。11xyxyIIII表明:截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩前两式相加I.4.2主惯性轴和主惯性矩1112sin22cos22(sin2cos2)222xyxyxxyxyxyIIIIdIIIId010xdId令01111cos2sin222cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxyxyyxyxyxyxyIIIIIIIIIIIIIIII可求得0和0+90̊两个角度，从而确定两根轴x0，y0，且000xyI02tan2xyxyIII由求出代入转轴公式可得：002cos,2sin02tan2xyxyIII20max20min22xxyxyxyyIIIIIIIII2、主惯性矩（主矩）：图形对主轴的惯性矩Ix0、Iy0称为主惯性矩，主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。由此引出几个概念：1、主惯性轴（主轴）：如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的主惯性轴。（Ix0y0=0，x0，y0轴为主轴）。3、形心主惯性轴（形心主轴）：如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Ixcyc=0。xc、yc为形心轴。xc、yc为形心主轴）。4、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（Ixc、Iyc）。几个结论:若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。求截面形心主惯性矩的基本步骤1)、建立坐标系。2)、求形心位置。3)、建立形心坐标系，并求：Iyc，Ixc，IxcycyiiiixcSAxAySxyAAAA4)、确定形心主轴位置——0：5)、求形心主惯性矩02tan2xyxyIII20max20min22xxyxyxyyIIIIIIIII例I-5确定图示截面的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。解：(1)首先确定图形的形心。123241110.0590.011(0.035)0.0110.05998.2cm12CyyIIbA矩形I：11707080801111IIIIII11Cxy利用平行移轴公式分别求出各矩形对x轴和y轴的惯性矩和惯性积。121132410.0590.0110.07450.0110.05912360.9cmCxxIIaA1141110(0.035)0.07450.0110.059169cmCCxyxyIIabA11707080801111IIIIII11Cxy矩形Ⅲ：III4III4III4360.9cm98.2cm169cmIxxIyyIxyxyIIIIII44IIIII41097.3cm198cm338.4cmxxxxyyyyxyxyxyxyIIIIIIIIIIII1IIII3410.0110.163769cm12CxxII矩形Ⅱ：整个图形对x轴和y轴的惯性矩和惯性积为:1IIII3410.160.0111.78cm12CyyIIII0xyI11707080801111IIIIII11Cxy44IIIII41097.3cm198cm338.4cmxxxxyyyyxyxyxyxyIIIIIIIIIIII(2)求0：0018.5108.5或752.01983.1097)338(222tan0yxxyIII0的两个值分别确定了形心主惯性轴x0和y0的位置041097.31981097.3198cos37(338)sin371210cm22xIx0y0018.5则：041097.31981097.3198cos217(338)sin21785cm22yI